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    • 如图，已知椭圆 C ： ，经过椭圆C的右焦点F且斜率为 k （ k ≠0）的直线l交椭圆 G 于A、B两点，M为线段A

    如图，已知椭圆 C ： ，经过椭圆C的右焦点F且斜率为 k （ k ≠0）的直线l交椭圆 G 于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点． （1）是否存在 k ，使对任意m＞0，总有 成立？若存在，求出所有k的值；（2）若 ，求实数k的取值范围．

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    推荐答案   2014-09-23
    （1）k＝±1（2）

    （1）椭圆 C ： 1分
    直线 AB ： y ＝ k （ x －m ）,                                                                                                   2分
    ，（10 k 2 ＋6） x 2 －20 k 2 mx ＋10 k 2 m 2 －15m 2 ＝0．    3分
    设 A （ x 1 , y 1 ）、 B （ x 2 , y 2 ）,则 x 1 ＋ x 2 ＝ ， x 1 x 2 ＝     4分
    则 x m ＝                                5分
    若存在k,使 为 ON 的中点，∴ ．
    ∴ ，
    即N点坐标为 ．                             6分
    由N点在椭圆上，则                 7分
    即5 k 4 －2 k 2 －3＝0．∴ k 2 ＝1或 k 2 ＝－ （舍）．
    故存在k＝±1使                                                                                   8分
    （2） ＝ x 1 x 2 ＋ k 2 （ x 1 －m）（ x 2 － m ）
    ＝（1＋ k 2 ） x 1 x 2 － k 2 m（ x 1 ＋ x 2 ）＋ k 2 m 2
    ＝（1＋ k 2 ）·             10分
    由 得                  12分
    即 k 2 －15≤－20 k 2 －12, k 2≤ 且 k ≠0．                                    14分
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