关于抛硬币概率的一道策略问题，望大神解答。
你有若干本金，比如1000吧，对方有两枚硬币，一枚正反两面正常硬币，一枚两面正面硬币。每抛一次扣除1元，若硬币一直出正面，当出若干次正面时你可以选择判断硬币是双正面硬币，如果错误则扣除所有本金。问当硬币出现多少次正面时判断是双正面才能剩最多的钱？
这应该用贝叶斯 (Bayes) 理论来做。
下面的P代表概率。
A代表那枚硬币是正常的，B代表那枚硬币是异常的。
X(k)代表扔了k次全是正面的事件。
P(X(k) | A) = (1/2)^k
P(X(k) | B) = 1
作为博弈论来讲，我们需要假设敌人选取A或B的概率相等，也就是：P(A) = P(B) = 1/2
由全概率公式：
P(X(k)) = P(X(k) | A) * P(A) + P(X(k) | B) * P(B) = (1/2)^(k+1) + (1/2)
由贝叶斯公式：
P(A | X(k)) = P(X(k) | A) * P(A) / P(X(k))
= (1/2)^(k+1) / [(1/2)^(k+1) + (1/2)]
= 1 / (2^k + 1)
P(B | X(k)) = P(X(k) | B) * P(B) / P(X(k))
= (1/2) / [(1/2)^(k+1) + (1/2)]
= (2^k) / (2^k + 1)
对于判断是A还是B来讲，只需看P(A | X(k))和P(B | X(k))哪个大，哪个大就判断是哪个。
显然，P(A | X(k)) < P(B | X(k))，所以永远判断是B。
下面计算失去的本金：
设 k 次正面后，我们判断为 B 型硬币。
我们失去的本金是这样的：
如果原本是 A 型硬币。
对于任意 i (1<=i<=k)，如果前 i-1 次是正面，而第 i 次是背面，那么我们就能正确判断出 A。
此时我们失去的本金是：i
如果前 k 次都是正面，那么我们将作出错误判断，失去的本金将是：n
如果原本是 B 型硬币。
那么我们失去的本金是：k
所以，我们失去的本金的期望是：
这个方程只能用数值求解，比如用Matlab：
fzero('2^x - (1000 - x - 2) * log(2) - 1', 1)
得到解是：9.4225
也就是在 9 或 10 取到最小值。
再算算具体的值：
f(9) = 4.4658
f(10) = 4.4824
所以，最优的方法是扔 9 次后判断，失去的本金的期望是：4.4658
还可以用Matlab画张图（点击可放大）：
横轴是 k 值（k 从 1 到 100），纵轴是在 k 时结束损失的本金：
两点不明白
在求k次全正面概率时，选a的情况为什么用k+1，那不是k+1次正面概率了么？
由全概率公式：
P(X(k)) = P(X(k) | A) * P(A) + P(X(k) | B) * P(B) = (1/2)^(k+1) + (1/2)
可不可以这么理解，若是正常硬币且只能投入一次，我在9次正面后，第10次投入是最好选择？
k 次全正面概率时，是 k 次方，另外一次方是 P(A) 中的 1/2 乘出来的。
判断方法是这样：9次正面后，不再有第10次，直接判断为异常硬币。
抛两枚硬币的试验中，出现一正面一反面的概率是三分之一还是二分之一呢？来看看计算机模拟试验的结果？