已知斜率为k的直线l与椭圆C：x2/4+y2/3＝1交于AB两点线段AB的中点为M（1,m）

Question

已知斜率为k的直线l与椭圆C：x2/4+y2/3＝1交于AB两点线段AB的中点为M（1,m）（1）证明k＜-1/2（2）设F为C的右焦点P为C上一点且→FP+→FA+→FB ＝0证明丨→FA丨丨→FP丨，丨→FB丨成等差数列，并求该数列的公差

Answer 1

设l:y=kx+n,
代入x^2/4+y^2/3=1,得
3x^2+4(k^2x^2+2knx+n^2)=12,
(3+4k^2)x^2+8knx+4n^2-12=0,
△/4=16k^2n^2-(3+4k^2)(4n^2-12)=36+48k^2-12n^2>0,
n^2<3+4k^2,①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8kn/(3+4k^2),
线段AB的中点为M（1,m）,
∴xM=(x1+x2)/2=1,
-4kn=3+4k^2,
平方，把①代入，得16k^2(3+4k^2)>(3+4k^2)^2,
约去3+4k^2,得16k^2>3+4k^2,k^2>1/4,
∴k>1/2或k<-1/2.
(2)F(1,0),向量FP+FA+FB=0,
∴F是△PAB的重心，
∴xP+x1+x2=3,
由焦半径公式，|FA|=2-ex1,|FB|=2-ex2,|FP|=2-exP,其中e是椭圆的离心率，
|FA|,|FP|,|FB|成等差数列，
<==>|FA|+|FB|=2|FP|,
<==>4-e(x1+x2)=4-2exP,
<==>xP=(x1+x2)/2.
?待续