如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的

Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点. (1)若PD∥平面EAC,试确定点E在棱PB上的位置.(2)在(1)的条件下,求二面角A-CE-P的余弦值.

Answer 1

(1) PE= PB   (2)

(1)在梯形ABCD中,由题知AB⊥BC,AB=BC,∴AC= AB,∠BAC= , ∴∠DCA=∠BAC= . 又∠CAD=90°, ∴△DAC为等腰直角三角形. ∴DC= AC= ( AB)=2AB. 连接BD,交AC于点M,连接ME, ∵AB∥DC,∴ = =2. ∵PD∥平面EAC, 又平面EAC∩平面PDB=ME, ∴PD∥EM. 在△BPD中, = =2,∴PE=2EB, ∴当PE= PB时,PD∥平面EAC. (2)由题意知△PAB为等腰直角三角形,取PB中点N,连接AN,则AN⊥PB. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC. ∵∠ABC=90°,即AB⊥BC, 又PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB. ∵BC?平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB, 又平面PAB∩平面PCB=PB,∴AN⊥平面PBC. ∵CE?平面PBC,∴AN⊥CE. 在平面PBC内,过点N作NH垂直直线CE于点H,连接AH. ∵AN⊥CE,NH⊥CE,AN∩NH=N, ∴CE⊥平面ANH, ∴AH⊥CE.∴∠AHN是二面角A-CE-P的平面角. 设PA=AB=BC=a, 则PB= = a,BE= PB= a, NE= PB-BE= PB- PB= PB= a, CE= = a. ∵NH⊥CE,EB⊥CB,∠NEH=∠CEB, ∴△NEH∽△CEB,∴ = , ∴NH= = a. ∵AN⊥平面PBC,NH?平面PBC, ∴AN⊥NH,则△AHN为直角三角形. 在Rt△AHN中,AN= AB= a, ∴tan∠AHN= = , ∴cos∠AHN= = = . ∴二面角A-CE-P的余弦值为 .