两道函数题

Question

一。已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x属于[1,正无穷)
（1）当a=0.5时，判断并证明f(x)的单调性
（2）当a=-1时，求函数f(x)的最小值

二。设函数f(x)对于任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x大于0时，f(x)小于0，f（1）=-2
试问：在-3小于等于x大于等于3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值：如果没有，说出理由。

（要过程）

Answer 1

1
f(x)=(x2+2x+1/2)/x=x+1/(2x)+2
令a>b>1,则f(a)-f(b)=(a-b)+(1/2)(b-a)/(ab)
=(a-b)[1-1/(2ab)]
a>b>1,∴a-b>0,1-1/(2ab)>0;
∴f(a)-f(b)=(a-b)[1-1/(2ab)]>0;
f(a)>f(b);f(x)在x∈〔1,＋∞)上单调递增;
∴函数f(x)的最小值是f(1)=7/2;

2
f(x)=(x2+2x+a)/x
=[(x+1)^2+(a-1)]/x
∵x>1,
∴只要(x+1)^2+(a-1)＞0,那么f(x)=[(x+1)^2+(a-1)]/x＞0恒成立
x>1,则(x+1)^2＞4;
∴必须a-1＞-4,才能保证对任意x∈1，＋∞），(x+1)^2+(a-1)＞0.
∴a＞-3

Answer 2

解 f(x)=(x2+2x+a)/x=x+2+a/x=2+x+a/x
当a=0.5时f(x)=2+x+1/(2x)在【1，+∞）上 是增函数
证明 1<=x<m f(x)-f(m)=(x-m)(1-1/(2xm))<0
所以函数f(x)=2+x+1/(2x)在【1，+∞）上 是增函数
（2）当a=-1时 f(x)=2+x-1/x
函数 在【1，+∞）上 是增函数
所以 函数 的 最小值 为f(1)=2
二、此 题为正比例 函数 或者反比例 函数 模型的 题目，而f(x+y)=f(x)+f(y),知道f（0）=0,f(2)=2f(1)=-4,f(3)=f(1)+f(2)=-6, f(-x)=-f（x）,f(x+y)-f(x)=f(y),y>0时说明 函数是减函数即 函数 在R上是减函数
由此 可知x<=-3时 f(x)>=-6 , x>=3时f(x)<=6