函数绝对值的极限等于函数的极限吗?

Question

如题所述

Answer 1

函数绝对值的极限不一定等于函数极限的绝对值。

如果这个函数值是正的则相等，如果是函数值为负则不等。如f(x)=x在x→－1时的极限等于－1。但丨f(x)|在x→－1时的极限是1。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等。

以x→x0的极限为例，f(x)在点x0以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得．当x满足不等式0< |x-xo|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：｜f(x)- A|<ε，那么常数A就叫做函数（f(x)当x- +x。时的极限。

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在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

数列｛Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N, n> N时，且m≠n,有｜Xm - Xn| <ε．我们把满足该条件的｛Xn}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列｛Xn)收敛，当且仅当它是一个柯西序列。