矩阵的乘法运算法则

Question

如题所述

Answer 1

矩阵的乘法运算法则如下：

乘法结合律：（AB）C＝A（BC）。

乘法左分配律：（A＋B）C＝AC＋BC。

乘法右分配律：C（A＋B）＝CA＋CB。

对数乘的结合性k（AB）＝（kA）B＝A（kB）。

含义

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑地集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型，如电力系统网络模型。

其他的乘积形式

除了上述的矩阵乘法以外，还有其他一些特殊的“乘积”形式被定义在矩阵上，值得注意的是，当提及矩阵相乘或者矩阵乘法的时候，并不是指代这些特殊的乘积形式，而是定义中所描述的矩阵乘法。在描述这些特殊乘积时，使用这些运算的专用名称和符号来避免表述歧义。

路径问题

给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数。把给定的图转为邻接矩阵，即A（i，j）＝1当且仅当存在一条边i-＞j。令C＝A＊A，那么C（i，j）＝ΣA（i，k）＊A（k，j），实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。

类似地，C＊A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出A＾k即可。