怎样用“五点法”画函数的图象？

Question

如题所述

Answer 1

用【五点法】作图的五个关键点：函数图像的最高点、最低点、与x轴的交点、确定原点的位置以及建立坐标系。

第一步，求与x轴的交点

当y=0时，其3sin(2x+π/3)+1=0，sin(2x+π/3)=-1/3

解上述方程，x=-0.6935，1.2171

第二步，求与y轴的交点

当x=0时，其y=3sin(2×0+π/3)+1=3.598

第三步，运用导数的知识，求函数的一阶导数

y'=(3sin(2x+π/3)+1)'=6cos(2x+π/3)

第四步，分别令y'=0，求得函数的极值点

y'=6cos(2x+π/3)=0，2x+π/3=kπ+π/2，x=(kπ+π/6)/2=kπ/2+π/12(k=0,1,2,...)

当k=0时，x=π/12，其对应的y=3sin(2×(π/12)+π/3)+1=4

当k=1时，x=7π/12，其对应的y=3sin(2×(7π/12)+π/3)+1=-3

由此，可知点(π/12,4)为最高点，点(7π/12,-3)为最低点

第五步，运用导数的知识，求函数二阶导数

y"=(6cos(2x+π/3))'=-12sin(2x+π/3)

第六步，判别函数的单调增、减区间

当x=π/12时，y"=-12sin(2×(π/12)+π/3)=-12<0，有最大值。可以判断在x=π/12的左侧是单调上升，在x=π/12的右侧是单调下降

当x=7π/12时，y"=-12sin(2×(7π/12)+π/3)=12>0，有最小值。可以判断在x=7π/12的左侧是单调下降，在x=7π/12的右侧是单调上升