概率论与数理统计问题

Question

第五题中Y1和Y2是相互独立的吗？具体怎么解答？谢谢！

Answer 1

1．事件间的关系则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生
称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件发生
称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件发生
称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件发生
，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件
2．运算规则交换律
结合律
分配律
徳摩根律
§3．频率与概率
定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率
概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率
1．概率满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A
（2）规范性：对于必然事件S
（3）可列可加性：设是两两互不相容的事件，有（可以取）
2．概率的一些重要性质：
（i）
（ii）若是两两互不相容的事件，则有（可以取）
（iii）设A，B是两个事件若，则，
（iv）对于任意事件A，
（v）（逆事件的概率）
（vi）对于任意事件A，B有
§4等可能概型（古典概型）
等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同
若事件A包含k个基本事件，即，里
§5．条件概率
（1） 定义：设A,B是两个事件，且，称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件
1。非负性：对于某一事件B，有
2。规范性：对于必然事件S，
3可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有
（3） 乘法定理设，则有称为乘法公式
（4） 全概率公式：

Answer 2

我们已知X服从均匀分布U[-2,2]，首先来分析Y1和Y2的定义。
Y1和Y2都是关于X的函数。当X满足某个条件时，Y1和Y2的取值为1，否则为0。我们可以根据给定条件列出Y1和Y2的概率分布。
(1) Y1和Y2的联合分布：
我们可以先分别求出Y1和Y2的边缘分布，再求它们的联合分布。
对于Y1：
P(Y1=1) = P(X<=-1) = (2-(-1))/4 = 3/4
P(Y1=0) = P(X>-1) = 1/4
对于Y2：
P(Y2=1) = P(X<=1) = (1-(-2))/4 = 3/4
P(Y2=0) = P(X>1) = 1/4
求Y1和Y2的联合分布，我们需要考虑它们的四种组合：
P(Y1=1, Y2=1) = P(-2 <= X <= -1) = 1/4
P(Y1=1, Y2=0) = P(-1 < X <= 1) = 0
P(Y1=0, Y2=1) = P(-1 <= X <= 1) = 1/2
P(Y1=0, Y2=0) = P(1 < X <= 2) = 1/4
(2) E(Y1+Y2)和D(Y1+Y2)：
首先计算E(Y1)和E(Y2)：
E(Y1) = 1P(Y1=1) + 0P(Y1=0) = 3/4
E(Y2) = 1P(Y2=1) + 0P(Y2=0) = 3/4
因为Y1和Y2是关于X的函数，且它们的取值只与X的范围有关，我们可以观察到它们是相互独立的。所以：
E(Y1+Y2) = E(Y1) + E(Y2) = 3/4 + 3/4 = 3/2
接下来计算D(Y1)和D(Y2)：
D(Y1) = E(Y1^2) - [E(Y1)]^2 = (1^2P(Y1=1) + 0^2P(Y1=0)) - (3/4)^2 = 3/4 - 9/16 = 3/16
D(Y2) = E(Y2^2) - [E(Y2)]^2 = (1^2P(Y2=1) + 0^2P(Y2=0)) - (3/4)^2 = 3/4 - 9/16 = 3/16
由于Y1和Y2是相互独立的，它们的协方差Cov(Y1,Y2)为0。所以：
D(Y1+Y2) = D(Y1) + D(Y2) + 2*Cov(Y1,Y2)本回答被网友采纳