梯形蝴蝶定理的公式

Question

如题所述

Answer 1

梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形状奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。计算公式有S3: S4=ab：cd、S1:S2:S3:S4等。在相似图形中适用，在实际问题中使用要看具体问题。

在梯形中，存在以下关系：

相似图形，面积比等于对边比的平方也就是S1：S2=a^2/b^2

S1:S2:S3:S4= a²:b²:ab:ab ；S1:S3=S4:S2

S3=S4

S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)

AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)

证明

左上角为A，右下角为B

S1和S2的三角形是相似的,所以面积比=边长比的平方即a²：b² 设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。

所以S3=S4 设S4三角形高为h1（底为OB），可知S3:S1=S4：S1=OB:OA 。

因为S1和S2的的三角形是相似三角形，S4:S1=OB:OA=b：a 。

所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab。