如何计算曲线积分？

Question

如题所述

Answer 1

要计算曲线积分
∮(y^2 + x*e^(2y))dx + (x^2*e^(2y) + 1)dy
其中曲线L是给定的圆 (x-2)^2 + y^2 = 4，我们可以使用格林公式（Green's Theorem）来将曲线积分转化为面积积分，从而更容易求解。格林公式如下：
∮(Pdx + Qdy) = ∬(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dA
其中P和Q是曲线积分中的函数，dA表示面积元素。在这种情况下，P = y^2 + x*e^(2y)，Q = x^2*e^(2y) + 1。
首先，我们需要计算∂Q/∂x和∂P/∂y：
∂Q/∂x = 2x*e^(2y)
∂P/∂y = 2y + 2x*e^(2y)
然后，我们可以计算∂Q/∂x - ∂P/∂y：
∂Q/∂x - ∂P/∂y = 2x*e^(2y) - (2y + 2x*e^(2y)) = -2y
现在，我们可以将曲线积分转化为面积积分：
∮(y^2 + x*e^(2y))dx + (x^2*e^(2y) + 1)dy = ∬(-2y)dA
接下来，我们需要确定曲线L所包围的区域，然后计算面积积分。由于L是圆心在(2, 0)且半径为2的圆，我们可以将积分区域确定为整个圆。使用极坐标来计算面积积分可能更方便：
∬(-2y)dA = ∫[0, 2π] ∫[0, 2] (-2r*sin(θ)) * r dr dθ
接下来，计算此二重积分：
∫[0, 2π] ∫[0, 2] (-2r^2*sin(θ)) dr dθ
首先对r积分，然后对θ积分：
= -2∫[0, 2π] (-(2^3)/3 * sin(θ)) dθ
= (16/3)∫[0, 2π] sin(θ) dθ
计算上述积分，考虑sin(θ)在一个周期内的积分为0，得到：
= (16/3) * 0
= 0
因此，曲线积分的结果为0。