反函数是指，对于一个函数 f(x)，如果存在一个函数 g(y)，使得对于 f(x) 的每一个值 y，都有 g(y) = x，那么 g(y) 就是 f(x) 的反函数。
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f﹣¹(x) 。反函数y=f ﹣¹(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
举个例子，如果有一个函数 f(x) = 2x + 1，那么它的反函数 g(y) 就是 g(y) = (y - 1) / 2。因为对于 f(x) 的每一个值 y，都有 g(y) = x。
反函数在数学中有很多应用，比如求解方程、求导、求极值等。在实际生活中，反函数也经常被用来计算逆运算，比如计算退税金额、还原被压缩的图像等。
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第1个回答 2023-09-21
证明：设（a,b）是原函数图像上的点，根据反函数的定义，则（b,a）是反函数图像上的点。显然（a,b) (b,a）两点关于直线y=x对称，证毕。
一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为x=f 存在反函数（默认为单值函数）的条件是 注意：上标"−1"指的是函数幂，但不是指数幂。
反函数注意：
比如，正弦函数y=sinx在(-π/2,+π/2)上单调增，那么存在它的反函数——就是我们熟悉的反正弦函数x=arcsin y，但是如果超出这个区间就有问题了。再比如指数函数，在R上全程严格单调，于是天然地就会有它的反函数，即是大名鼎鼎的对数函数。
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