反函数求导的题 求大神

Question

求它们的反函数的导

Answer 1

若一函数有反函数，此函数便称为可逆的。
简单的说，就是把y与x互换一下，比如y=x+2的反函数首先用y表示x即x=y+2，把x、y位置换一下就行那么y=x+2反函数就是y=x-2
(a) 设f(x)的反函数为g(x)
令f(x)=y=1+x^2
把x、y位置换一下
x=1+y^2
y=±√x-1
g(x)=±√x-1
因为反函数该g(y)的定义域、值域分别是函数f(x)的值域、定义域
所以g(x)=-√x-1 x∈[1,5]
g'(x)=[-√x-1]'=-(1/2)*[(√x-1)^(-1/2)]
=-1/[2√(x-1)]
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掌握了方法后下面的步骤我就不写那么详细了
(b) g(x)=√[(x^2)-1] x∈[1,√2]
g'(x)={√[(x^2)-1]}' [(x^2)-1]'
=x/√[(x^2)-1]
(c) g(x)=√[(1-x)/x] x∈[0,1]
g'(x)={√[(1-x)/x]}'[(1-x)/x]'
=-1/{2(x^2)*√[(1-x)/x]}追问

麻烦看下我这样做算对吗 以第二题为例子Y=f(x)=√x^2+1 得到它的反函数g(y)=y^2-1 然后得到g（y）的导 y/√[(y^2)-1] 但是我用前面的式子得到的关系式Y=f(x)=√x^2+1得不到 把把它的反函数设置为g(x)时的答案 请问这算错吗

追答

你上面有个地方出错了， 以第二题为例子Y=f(x)=√x^2+1 得到它的反函数g(y)=y^2-1。这个得到它的反函数应该是√[(y^2)-1]，然后得到g（y）的导 y/√[(y^2)-1]，然后把x带入式中，g'(x)=x/√[(x^2)-1]，这样才对。还是说我理解错你的意思了？

追问

打错 应该是√[(y^2)-1] 我只是想知道 如果我不把g(x) 的反函数 不写成常见的g(x)倒函数 而是写成g（y） 这样算不算对

追答

算对

Answer 2

这道题的关键在于定义域和值域，首先我们拿（a）来讲。把x的定义域带入函数求得y的值域是[1,5] 然后简单点就是把F（x）和x位置互换求出F(x) 这可以求得F反（x）=-√（x-1） x∈[1.5] 这样反函数求出来了 然后再求F反的导函数 F反’=-1/[2√（x-1）] ps: 我这边打数学符号有点麻烦看懂就好。 剩下两题就按照这个思路你可以试试至于怎么求导函数可以套公式。