已知直线l:kx–y–k+3=0求证无论k为何值直线l总过第一象限

Question

如题所述

Answer 1

圆方程整理：（x-3）^2+（y-4）^2=4圆心（3，4），半径=2圆心到直线距离：d=|3k-4-4k+3|/√（k^2+1）=|k+1|/√（k^2+1）d^2=（k+1）^2/（k^2+1）=1+2k/（k^2+1）≤1+（k^2+1）/（k^2+1）=2即0＜d≤√2＜2所以结论成立．

[解析]　解法一：将直线l与曲线C的方程联立，得
消去y，得（1+k2）x2-2（4k2+k+3）x+2（8k2+4k+3）=0.③　　　
∵△=4（4k2+k+3）2-8（1+k2）（8k2+4k+3）=12k2-8k+12=12＞0，
∴方程③有两相异实数根，
因而方程组有两个解，即说明直线l与曲线C恒有两交点．
解法二：当k变化时，由l：k（x-4）+3-y=0可知，直线l恒过定点A（4，3），曲线C是半径r=2，圆心为C（3，4）的圆．
∵|AC|==

2

＜r，
∴直线l与曲线C恒有两个交点．

Answer 2