数学问题:若x^2+y^2-2x+4y-20=0

Question

1,若x^2+y^2-2x+4y-20=0,则x^2+y^2的最小值____5-√5______

2,从原点作圆x^2+y^2-2x=0的弦,则各条弦中点M的轨迹方程____x^2+y^2-x=0_______

3,若实数x,y满足x^2+y^2-2x+4y=0,则x-2y的最大值___10_______

4,若点(1,1)到直线xcosθ+ysinθ=2的距离为d,则d的最大值_____2+√2______

5,过点(2,4)的直线与抛物线y^2=8x只有一个公共点,这样的直线有____2条________

最好解析一下

Answer 1

1、 (x-1)^2+(y+2)^2=25,设z=√（x^2+y^2）,根据拉格朗日乘数法求条件极值，
φ(x,y)=x^2+y^2-2x+4y-20,z=f(x,y)=√（x^2+y^）, ，
x/√x^2+y^2)+λ（2x-2）=0, y/(√x^2+y^2)+λ（2y+4）=0,
λ=-x/ √(x^2+y^2)(2x-2), λ=-y/(x^2+y^2)(2y+4),-x/(2x-2)=-y/(2y+4),y=-2x,x^2-2x-4=0,x=1±√5，y=-2-2√5，或y=-2+√5,z=√[(1+√5)^2+(-2-2√5)^2]=√(30+10√5)= √(25+2*5*√5+5)=5+√5,
z=√(1-√5)^2+(-2+2√5)^2=√(30-10√5)= √(25-2*5*√5+5)=5-√5,相比应取5-√5， 从空间几何角度解释一下，z=√（x^2+y^2）是一个顶点在原点，开口向上且不断扩大的旋转体，而x^2+y^2-2x+4y-20=0是圆心在（1，-2，z）的圆柱面，它们有一个最低的交点，就是z=5-√5.
2、设弦中点坐标为M(x,y),则弦另一端坐标为P（2x,2y）,P点在圆上，它就在满足方程，（2x）^2+(2y)^2-2(2x)=0,4x^2+4y^2-4x=0,化简得：x^2+y^2-x=0. 各条弦中点M的轨迹方程是x^2+y^2-x=0。
3、根据拉格朗日乘数法求条件极值，设z=（x^2+y^2），
φ(x,y)=x^2+y^2-2x+4y，2x +λ（2x-2）=0,
2y+λ（2y+4）=0,
消去参数λ，5x^2-10x=0,x=0或x=2,y=0或y=-4,x=0,y=0不符合题意，x=2,y=-4,代入x-2y 得10，这是一个极大值，从空间几何角度解释一下，z=（x^2+y^2）是一个顶点在原点，开口向上且不断扩大的旋转体，而z=-2x+4y是通过原点的平面，它与与旋转面有一个最高交点，故有一个极大值，即为10。
4、根据点至直线距离公式：d=| xcosθ+ysinθ-2|/√[（cosθ）^2+(sinθ)^2]= | xcosθ+ysinθ-2|=|√2[sin（π/4）cosθ+cos（π/4）sinθ-2|=|√2sin(θ+π/4)-2|，-√2≤√2sin(θ+π/4)≤√2，要使绝对值最大，应取-√2，d=|-√2-2|=2+√2. d的最大值是2+√2。
5、过点(2,4)的直线与抛物线y^2=8x只有一个公共点,即是抛物线的切线，y=±2√(2x),先对正值研究，y’=-√2（x）^(-1/2),而点P（2，4）在抛物线上（正分支），导数是切线的斜率，y’=-1,y-4=-(x-2),y=-x+6,而点（2，4）还可对负分支抛物线作一切线，y’=√2（x）^(-1/2),故应有二条这样直线。
因不支持公式编辑器，偏导符号无法打进。

Answer 2

只提供第1题答案
1.x²+y²-2x+4y-20=x²-2x+1+y²+4y+4-25=（x-1）²+（y+2）²=25.
所以有2种可能：① x-1=3 y+2=16 ②x-1=16 y+2=9
试验可得x²+y²最小值为212.

Answer 3

5

Answer 4

1.x²+y²-2x+4y-20=x²-2x+1+y²+4y+4-25=（x-1）²+（y+2）²=25.
所以有2种可能：① x-1=3 y+2=16 ②x-1=16 y+2=9
试验可得x²+y²最小值为212.

Answer 5

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