两平行线相交于无穷点
以下为引用:
“平行线公理”之争的终结——黎曼几何
让我们先来个逻辑推理:对于“过直线外一点可做其几条平行线”?欧氏几何说,只能做一条;罗氏几何说,至少可以做两条(包括一组和无数)。那么还剩什么情况没涉及到呢?
很显然,就是一条都不能做!
而有人沿着这个思路想下去,还真的又创立了一种“非欧几何”。这个人叫“黎曼”,是德国数学家,所以这种几何又被称为“黎曼几何”。1854年黎曼所作的《论几何学作为基础的假设》一文,是“黎曼非欧几何”诞生的标志。
那么黎曼何以认为“过直线外一点一条该直线的平行线也做不出来”呢?
这需要我们再回到球面。我在讲罗氏几何时,就不得不提前告诉大家,圆球上的“直线”是过球心的圆上的“大圆弧”,且这些“直线圆”都是相交的,并建议大家用两根“赤道圆绳”在地球仪上比划,以获得鲜明、生动的“感性认识”。(请参见41页2027复“罗氏几何可能在什么“面”上实现?”)其实这一思想是黎曼的。
这里需要注意的是:我们大家所熟悉的地球仪上的“纬线圈”可不是“球面直线”!亦即“纬线圈”及其“圆弧”不是“短程线”(或说“测地线”)。这是为什么呢?大家可以就着地球仪观察一下,凡是“直线圆及其圆弧”,过其上任一点所做的圆球的切面,与这个直线圆或其圆弧都是“垂直”关系!这是球面“直线”和“直线圆”的突出特点。但纬线圈及其圆弧就无此特点了,你可以任意选一纬线(赤道除外),然后在其上任选一点,过该点做圆球的切面(用本书罩在这点上,使地球仪靠在这书上,就像地球仪静放在桌面上的书上的状态一样即可。这里只不过移到了空中)。这时你就可明显地发现,纬线圈与其有关“球切面(书)”是一种“斜交”关系,而非“垂直”关系。当然,“一段纬线”,即“纬线圆弧”,与其各点“球切面”的关系,亦是“斜交”,而非垂直关系。因此纬线圈及其圆弧不是球面上的“直线”。——由此,旅行时,大家应选择走“球面直线圆弧”(大圆弧),而不是“沿着纬线走”,这样你才能真正走“捷径”!沿着纬线走其实是“绕远”、走了弯路了。但“赤道”既是纬线又是球面直线圆,所以在赤道沿着赤道走是最短途径,是走的“直线”。
下面回到正题:正是由于球上“大圆弧”延长后都是有限、封闭的(都成“圆”),且任何两个“球面直线圆”都相交,因此黎曼认为球面(如我们的“地球”,曾被看成“平面”)上其实无平行线可言,当然也就更谈不到“过直线外一点作其一条或几条平行线”了。这样关于欧氏几何的“第五公设”,到了黎曼这里,就变成“过直线外一点一条平行线都做不出来”了(这其实也是欧氏第五公设的一个“反命题”)!
而“圆球”是“椭圆球”的特例,我们的地球实际就是个不规则的“椭球体”。关于圆球和各种椭球的关系如下:
椭球是一种二次曲面,是椭圆在三维空间的推广。椭球在xyz-笛卡儿坐标系中的方程是:
其中a和b是赤道半径(沿着x和y轴),c是极半径(沿着z轴)。这三个数都是固定的正实数,决定了椭球的形状。
如果三个半径都是相等的,那么就是一个球;如果有两个半径是相等的,则是一个类球面。
球;
扁球面(类似块状);
长球面(类似条状);
不等边椭球(“三条边都不相等”)。
点(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。从原点到这三个点的线段,称为椭球的半主轴。它们与椭圆的半长轴和半短轴相对应。(摘自“维基百科”,请参见下图)
因此,黎曼由圆球得出的结论,可以推广到“椭球”:过椭球心的“椭圆及其圆弧”乃椭球上的“短程线”或说“测地线”,亦即“椭球直线”。同样这些“直线椭圆”也是相交关系,因此在椭球面上像在圆球面上一样,也不存在平行线。
黎曼“无平行线”的新几何提出后,大家一看,他说得有道理啊,“言之成理,持之有故”,可以很好地“自圆其说”,且比罗氏几何好理解多了,直观多了,于是很快便接受了“黎曼几何”。而由于黎曼几何适用于“椭球面”,所以黎曼几何又被称为“椭圆几何”。
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