数学分析：极限可加性问题，具体见图~

Question

答案显然是错误的，但如何证明这是错误的？

Answer 1

因为每一项都是无穷小，而项数也是无穷个，无穷个无穷小累加不能肯定为0，若有限个无穷小累加应是0.追问

极限四则运算的可加性当然要在有限个的基础上，
那既然无穷个加起来不一定为0，那这题应如何去有利地否定这个结论？

追答

因为极限运算法则就是有限个无穷小的和是无穷小，而题中的项数是无穷个，所以推出的结论错误。

追问

无限个无穷小的和未必是无穷小，这题就不是，
当既然是未必，那也不是必定啊，
比如n个1/n^2加起来仍是无穷小

追答

我是说原题的逻辑推理错误，无穷个无穷小相加的极限是多少，具体情况具体分析。
原式>(1/2n+1/2n+……+1/2n)(n个）=1/2
原式<(1/n+1/n+……+1/n)(n个）=1
原式的极限在1/2与1之间。

追问

感谢！ ~\(≧▽≦)/~

追答

谢谢采纳，顺便求原式的极限.
原式=(1/n){1/(1+1/n)]+1/(1+2/n)+……+1/[1+(n-1)/n]+1/(1+n/n)}(n->∞）
=∫1/(1+x)dx(x从0到1）
=ln(1+1)-ln(1+0)=ln2