F(x)=x²f(x)f(0)=f(1)=0f(x)在0到1的闭区间内三阶可导求证F(ξ)的三阶导？

Question

如题所述

Answer 1

F(x)=x²f(x)，
F'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x),
F''(x)=2f(x)+4xf'(x)+x^2*f''(x),
f(0)=f(1)=0,
所以F(0)=F(1)=0,
f(x)在闭区间[0,1]内三阶可导,
所以f''(x),f'(x)都连续，
所以F'(x),F''(x)都连续，
由罗尔定理，存在x1,满足0<x1<1,F'(x1)=0=F'(0),
同理，存在x2,满足0<x2<x1,F''(x2)=0,
又F''(0)=2f(0)=0,
所以存在z,满足0<z<x2<x1<1,F'''(z)=0.追问

f(x)在(0，1)上三阶可导，f(1)=f(0)=0 F(x)=x²f(x) 求证有一点z使得F(z)的三阶导=0 z属于(0，1)

追答

F(x)=x²f(x)，
F'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x),
F''(x)=2f(x)+4xf'(x)+x^2*f''(x),
F'''(x)=6f'(x)+6xf''(x)+x^2*f'''(x),
f(0)=f(1)=0,
所以存在x0,满足0<x0<1,f'(x0)=0,
F'(0)=0,F'(1)=f'(1),F'(x0)=2x0f(x0),
F''(0)=2f(0)=0,待续

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Answer 2

这道题肯定是要用到格拉朗日中值定理的，有时候也要用到罗尔地中学定理罗尔中值定理是格拉朗日中值定理的一个特例来的。本回答被网友采纳