如何求e的x平方的定积分？

Question

如题所述

Answer 1

要求解e的x平方的定积分，首先需要掌握积分的换元法。
我们令u=x²，则x=√u，dx/dt=1/2u，将x²替换成u，那么：
∫e^x²dx=∫e^udu/2√u
我们再次对该式进行变形。可以发现，分子e^u的积分是比较容易求解的，但是分母中还有一个2/√u，需要进一步的变性。
在分母中，将2/√u写成2*u^(-1/2)，那么原式就变成了：
∫(1/2)*e^u*u^(-1/2)du
我们可以用分部积分的方式，对从括号中选出的u^(-1/2)进行求导，对另一部分e^u进行不定积分，得到：
∫(1/2)*e^u*u^(-1/2)du=e^u√u-∫(1/2)*e^u*(-1/2)*u^(-3/2)du
化简上式得到：
∫e^x²dx=1/2√π∫e^(-t)²dt(其中t=u^(1/2),也就是t是根号u)
化简后的积分式可以用高斯函数计算，在数学上有一定的应用价值。
总之，我们可以通过积分换元、分部积分等数学方法，求解次方函数的定积分。积分的论述及计算不仅是数学学科中的重要内容，也是物理、化学、生物等学科中不可或缺的工具和应用工具。