向量共线定理公式:向量m=(a,b),向量n=(c,d)。
两者共线时ad=bc。若向量a与向量b(b为非零向量)共线,则a=λb(λ为实数)。
向量a与向量b共线的充要条件是,a与b线性相关,即存在不全为0的两个实数λ和μ,使λa+μb=0。更一般的,平面内若a=(p1,p2),b=(q1,q2),a∥b的充要条件是p1·q2=p2·q1。
共线向量也是平行向量,方向相同或相反的非零向量称为平行向量,用a∥b、 任何一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此称为共线向量。共线向量的基本定理表明,如果≠0,则向量b与a共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa。
充分性,不妨设μ≠0,则由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知,向量a与b共线。必要性,已知向量a与b共线,若a≠0,则由共线向量基本定理知,b=λa,所以 λa-b=0,取 μ=-1≠0,故有 λa+μb=0,实数λ、μ不全为零。
共线定理的证明过程
我们需要明确共线的定义。在平面上,如果存在一个非零向量a和一个实数k,使得任意一个向量b都可以表示为b=ka的形式,那么向量a和b就是共线的。
接下来,我们考虑一个平面上的向量a和b。如果向量a和b共线,那么根据共线的定义,存在一个实数k1,使得b=k1a。同样地,如果向量a和c共线,那么存在一个实数k2,使得c=k2a。我们需要证明的是,如果向量b和c共线,那么存在一个实数k3,使得c=k3b。