向量共线定理

Question

如题所述

Answer 1

向量共线定理公式：向量m=（a，b），向量n=（c，d）。

两者共线时ad=bc。若向量a与向量b（b为非零向量）共线，则a=λb（λ为实数）。

向量a与向量b共线的充要条件是，a与b线性相关，即存在不全为0的两个实数λ和μ，使λa+μb=0。更一般的，平面内若a=(p1，p2），b=（q1，q2），a∥b的充要条件是p1·q2=p2·q1。

共线向量也是平行向量，方向相同或相反的非零向量称为平行向量，用a∥b、 任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此称为共线向量。共线向量的基本定理表明，如果≠0，则向量b与a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使得b=λa。

充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 b=（λ/μ）a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。

共线定理的证明过程

我们需要明确共线的定义。在平面上，如果存在一个非零向量a和一个实数k，使得任意一个向量b都可以表示为b=ka的形式，那么向量a和b就是共线的。

接下来，我们考虑一个平面上的向量a和b。如果向量a和b共线，那么根据共线的定义，存在一个实数k1，使得b=k1a。同样地，如果向量a和c共线，那么存在一个实数k2，使得c=k2a。我们需要证明的是，如果向量b和c共线，那么存在一个实数k3，使得c=k3b。