证明:(e^x-1)ln(1+x) ≥x²

Question

如题所述

Answer 1

第一步：先证明 e^x-1≥x+x²/2 (x≥0)
构造函数 f(x)=e^x-1-x-x²/2 两次函数求导即可证明
第二步：由第一步可得(e^x-1)ln(1+x)≥（x+x²/2）ln(1+x） (x≥0)
若能够证明（x+x²/2）ln(1+x）≥x² (x≥0) 则结论得证
下面证明（x+x²/2）ln(1+x）≥x² (x≥0)
当x=0时，显然成立
当x>0时，若要证（x+x²/2）ln(1+x）≥x² 成立，
只需要证明 ln(1+x）≥x²/（x+x²/2）=2-4/(2+x)
令h(x)= 4/(2+x)+ln(1+x)
只需要证明 h(x)≥2 (x≥0)
因为h'(x)=1/(x+1)-4/(2+x) ² =(x²+4x)/[(2+x) ²(x+1)]≥0
所以函数h(x)在区间[0,+∞)上单调递增，从而h(x)≥h(0)=2 (x≥0)
综上结论得证

Answer 2

如何证明其结果