求级数〔(n＋x)∧n〕/〔(n∧(n＋x)〕的收敛域

Question

如题所述

Answer 1

这是常庚哲数学分析教程上的课后习题，答案是1到正无穷。个人感觉正确解法如下：把级数的项变形成1加x/n的n次方除以n的x次方，n无穷大时等价于e的x次方除以n的x次方，显然收敛域(1,+∞)，用收敛半径做的建议再好好学学幂级数。

Answer 2

a(n)=(n+x)^n/n^(n+x)，n→-∞
lima(n)=lim[(1+x/n)^n/n^x]
=lim(e^x/n^x)=0
数列{a(n)}收敛。
收敛半径
=lim[a(n)]^(1/n)
=lim[(n+x)/n^(1+x/n)]
=lim[(1+x/n)/n^(x/n)]
=1/1=1
级数收敛域：区间(-1，1)。