圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半
证明：
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
图1
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
从而得证：∠BOC=2∠BAC.
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