怎么样因式分解才是最简的？

Question

如题所述

Answer 1

因式分解定义

把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。

相关结论

基本结论：分解因式与整式乘法为相反。

高级结论：在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。

1）因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

2） 所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如x4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。(这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。)

3）因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。

4）因式分解是很困难的，初中所接触的只是因式分解很简单的一部分。

分解一般步骤

1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。

口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

原则

1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；

5、结果的多项式首项一般为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；

6、括号内的首项系数一般为正；

7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)；

8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。

口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

Answer 2

分解因式,就是把整式变成一个个因式的乘积,尽量降低各个因式的次数,
具体方法,
【第一步,提取公因式】
这也是最简单的方法,
公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些相信我们都熟悉了）,
而且,公因式还可能是一个式子,
例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b),公因式是 (a+b)
原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )
= ( a + b )( 5m + 5n ) ——这样再提取系数 5
= 5( a + b )( m + n )
【第二步,公式法】
就是把整式乘法的公式倒过来用,
a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差,
a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和,
a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差,
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和,
a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差,
熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,
【平方差】还有两个完全平方相减的式子,
例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"
= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]
= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )
= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )
【完全平方式】应该注意
( a - b )"
= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"
= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"
而且
( a - b )" = [ a + ( - b ) ]"
= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"
公式或许就只有一个
( a + b )" = a" + 2ab + b"
不管是和的平方,还是差的平方,
最先也都是平方和,
a" - 2ab - b" 就错了.
【立方和、立方差】
原来两个三次项,分解因式变成五个项,
两个是一次项、三个是二次项,
a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )
a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )
我们看看特征,
两个一次项 a 和 b,正负与原来的三次项 a"' 和 b"' 一样；
三个二次项,a" + b" 还是平方和,中间项 ab 就要与一次项相反.
或者,
看分解因式的五个项,
立方和,只有二次项 ab 为负,其余全都是正；
立方差,除了一次项 b 为负,其余全都是正.
想一想,
二次项 ab,如果立方和换成 +ab,立方差换成 -ab,
再变成 2 不就成了完全立方吗?怎么是立方和、立方差呢?
( a + b )( a" + 2ab + b" ) =( a + b )( a + b )" =( a + b )"'
( a - b )( a" - 2ab + b" ) = ( a - b )( a - b )" = ( a - b )"'
这样看来,立方和是 -ab,立方差是 +ab,就是要加大与完全立方的差别啊!
为了熟悉公式,我们也应该取简单的数字算一算,
2"' - 1"' = 8 - 1
= 7 = 1 X 7
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )
相信我们都知道,分解因式是这五个项,
相对困难就是正负符号,不知怎样确定,
这样只要算一算,就能够帮助自己确定符号了.
【第三步,二次三项式分解】
我建议,十字相乘法,结合分组分解法一同使用,
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
把单项式 mx = (a+b)x ,拆开变成 ax + bx ,
就能够分组提公因式进行分解.
【】关键是看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二,
如果常数项是正数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的和；
如果常数项是负数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的差.
前面已经说过,完全平方,b" 必然都是 +b",
x" + 10x + 25 = ( x + 5 )"
x" - 10x + 25 = ( x - 5 )"
再看看 x" ± 10x ± 24,分解因式 4 种情况都有,
【】如果常数项是正数,
一次项拆开两个项的绝对值,就都比原来小；
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
常数项 +24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和,
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )
【】如果常数项是负数,
一次项的绝对值,就是拆开两个项的相差数；
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x - 12 )( x + 2 )
常数项 -24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 12x 与 2x 的相差数,
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x + 12 )( x - 2 )
这样我们也就发现,
【】为什么看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二呢?这是因为：
常数项不变,只是一次项变成相反数,一次项一分为二的绝对值就不变；
一次项不变,只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式；
像这样的二次三项式,还有
x" ± 5x ± 6,
x" ± 10x ± 24,
x" ± 15x ± 54,
x" ± 20x ± 96,
x" ± 25x ± 150,
……
其实,它们都是 x" ± 5xy ± 6y" ,
这个式子千变万化,还有
6x" ± 5x ± 1,
6x" ± 10x ± 4,
6x" ± 15x ± 9,
6x" ± 20x ± 16,
6x" ± 25x ± 25,
……
这样的式子还不只一个,还有
8x" ± 26x ± 15,
8x" ± 52x ± 60,
8x" ± 78x ± 135,
8x" ± 104x ± 240,
8x" ± 130x ± 375,
……
其实,这样也都是 8x" ± 26xy ± 15y" ,
这个千变万化的式子,同样还有
15x" ± 26x ± 8,
15x" ± 52x ± 32,
15x" ± 78x ± 72,
15x" ± 104x ± 128,
15x" ± 130x ± 200,
……
它们包括了多种具体情况,
让我们也都取值做一做,
感受一下其中的奥秘吧.
【】二次三项式,分解因式,
这样也是技巧、窍门,
关键就看 c 与 a 的正负,
只要熟悉这个方法,
x" + bx + c,
ax" + bx + c,
ax" + bxy + cy",
我们都同样做得方便.
【复杂的多项式,配方法】
如果上面这些方式方法都不熟悉,
或者二次三项式看起来复杂,不知所措,
还可以使用配方法,
我们还是看看 x" - 10x - 24 ,
x" - 10x - 24
首先配方,把二次项和一次项,变成完全平方,
= x" - 10x + 5" - 25 - 24
= ( x - 5 )" - 49
分解因式,用平方差公式
= ( x - 5 )" - 7"
= ( x - 5 - 7 )( x - 5 + 7 )
= ( x - 12 )( x + 2 )
【分解之后,还要检验】
确保分解彻底,因式分解变形正确,
例如 x^6 - y^6,应该
= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )
= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )
相当于 64 - 1,
= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )
= 1 X 7 X 3 X 3
如果先用立方差,做成
= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )
= 1 X 3 X 21
就还有 21 不是质因数,分解不彻底,也就不正确了.
正如现在的平方差,有两个完全平方式相减,
现在要求分解的式子都比较复杂,要想还原就不方便了,
各种类型的式子,我们就都要熟悉两三种解答方式,
看看不同的方式方法是不是同一个结果,
这样才能够相互检验,确保解答正确.

Answer 3

因式分解的最简，是相对的，与构成因式分解的数域有关。
一般原则是：多项式，系数没有公因数，字母没有公因式
比如；a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)在整数范围内最简了，ab是整数，如果是实数范围，还可以分解，当ab是正实数 的时候，a-b=跟下a-跟下b和他们和的乘积

Answer 4

把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
最简，意味着每个整式都不可拆分成其他几个整式的积。参考链接【https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%A0%E5%BC%8F%E5%88%86%E8%A7%A3/384402?fr=aladdin】

分解一般步骤
1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

原则
1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。
3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。
4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；
5、结果的多项式首项一般为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；
6、括号内的首项系数一般为正；
7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)
8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

链接里有具体方法和例题

Answer 5

,总而言之,最后的结果不能有两项之间用加减号连接就是了.基本上是括号乘以括号形式.且括号里每一项不能有相同字母.常数项也不能有公约数.到了这种地步后才算完成（如果遇到公式也要给分解的!）本回答被网友采纳