简谐运动的微分方程是怎么得到的？

Question

如题所述

Answer 1

牛顿运动定律F=ma
又F为正比恢复力有F=-kx
又有a=d^2x / dt^2
带入第一个式子就可以得到-kx= m * d^2x / dt^2
书上为了简化运算令k/m=ω^2
解这个微分方程可以看做二阶线性常系数齐次微分方程，直接求其特征方程
也可以看做缺x,y'型的微分方程，利用间接换元法进行求解

Answer 2

令p=dx/dt，那么：d²x/dt²=dp/dt=(dp/dx)(dx/dt)=pdp/dx代入原方程得到：pdp/dx=-9xpdp=-9xdx两边积分得到：p²=C-9x²………………C为任意常数，需要根据初始条件求解dx/dt=p=√(C-9x²)上式显然可以分离变量来求解，但结果与C有关，这里缺少初始条件只好略去了。