已知二次函数f(x)满足条件f(2+x)=f(-x)且f(x)max=15

Question

已知二次函数f(x)满足条件f(2+x)=f(-x)且f(x)max=15，又f(x)=0两根立方和等于17，求F(x)的解析式。

Answer 1

已知二次函数f(x)满足条件f(2+x)=f(-x)
说明对称轴是x=(2+x-x)/2=1

且f(x)max=15
说明抛物线开口向下，顶点是(1,15)

所以可以设为y=a(x-1)^2+15,(a<0)
令y=a(x-1)^2+15=0
得(x-1)^2=-15/a
x-1=±√(-15/a)
x=1±√(-15/a)

因为f(x)=0两根立方和等于17
所以x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2-x1x2+x2^2)
=[(1-√(-15/a))+(1+√(-15/a))][(1-√(-15/a))^2-(1-√(-15/a))(1+√(-15/a))+(1+√(-15/a))^2]
=2[2-30/a-(1+15/a)]
=2-90/a
=17
所以a=-6

所以F(x)的解析式是f(x)=-6(x-1)^2+15

如果不懂，请追问，祝学习愉快！

Answer 2

二次函数f(x)满足：f(2＋x)=f(－x)
这个就说明二次函数的对称轴是：x=1
二次函数最大值是f(x)max=15
设：二次函数解析式是f(x)=a(x－1)²＋15 【其中，a<0】
f(x)=0
ax²－2ax＋(a＋15)=0
两根x1、x2的立方和=17，则：
(x1＋x2)(x1²－x1x2＋x2²)=17 【x1＋x2=2、x1x2=(a＋15)/a】
x1²－x1x2＋x2²=17/2
(x1＋x2)²－3x1x2=17/2
－3x1x2=9/2
x1x2=－3/2
(a＋15)/a=－3/2
得：a=－6
f(x)=－6(x－1)²＋15
f(x)=－6x²＋12x＋9本回答被提问者采纳