关于闭集的一个证明题

Question

如题所述

Answer 1

S为有界闭集与S的任一无限子集在S中有聚点
这两个结论是等价的

设S(q)为S的任一无限子集

充分形证明：

因为，S有界
所以，S(q)有界
由聚点定理（若S为界无限点集，则S中至少有一个聚点）可得
S(q)必有聚点
又，S(q)的聚点也是S的聚点
而，S是闭集
所以，该聚点必属于S

必要性证明：

1、有界性
反证法：若S无界，则存在各项互异的点列{Pn}包含于S
使得，|Pn|>n
则，子集{Pn}在S中无聚点
与已知条件矛盾
所以，S有界
2、S是闭集，只需证明S的任一聚点位于S中
设，P0是S的任一聚点
由聚点的性质，存在各项互异的点列{Pn}包含于S
使得，lim(n趋近∞)Pn＝P0
将{Pn}看作S(q)
则，S(q)的聚点(即P0)必属于S
所以，S为闭集本回答被提问者采纳