可积函数的函数可积的充分条件

Question

如题所述

Answer 1

可积函数的函数可积的充分条件：

1、函数有界；

2、在该区间上连续；

3、有有限个间断点。

函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

扩展资料：

任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。

可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。

给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。

参考资料来源：百度百科——可积函数

Answer 2

定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。
函数可积的充要条件
断点是零测度集

Answer 3

可积函数的函数可积的充分条件：

1、函数有界；

2、在该区间上连续；

3、有有限个间断点。

数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制；勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

Answer 4

在理解函数可积的充分条件之前，请先理解一下函数可积的定义，也就是说什么叫 “可积函数”：
请看：可积函数定义：
如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。
可见，函数可积是建立在定积分的基础上的，而本题是问原函数，
请再看：原函数定义：
已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有
dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
所以，求原函数实际上是求不定积分的过程，它与可积函数完全是不同的概念，请勿混淆！

建议：认真理解定积分和不定积分的区别，高等数学教科书上有详细的解释。

Answer 5

为啥连续了还能有有限个间断点