圆O是等边三角形ABC的外接圆，E是弧BC上一点，AE交BC于点D，求证 AE=BE+CE

Question

圆O是等边三角形ABC的外接圆，E是弧BC上一点，AE交BC于点D，求证 AE=BE+CE

Answer 1

解:在AE上取一点F,使EF=EC,连结CF.然后只要证明AF=BE就可以了. 证明△BEC全等于△AFC.条件:1)BC=AC;2)EC=FC;3)∠BCE=∠ACF 条件3)的证明 :CF=CE 所以∠CEF=∠CFE 因为∠CEF=60° 所以正三角形CEF 所以∠ACB=∠FCE 去掉重叠部分后 得 ∠BCE=∠ACF 所以△BEC全等于△AFC即BE=AF 所以AE=BE+CE

Answer 2

易证角AEB=60°在AE上取点F使EF=EB，连BF则三角形BEF为等边三角形易证三角形ABF全等于CBE，则CE=AF又BE=FE所以AE=BE+CE

Answer 3

延长EC至F使CF=BE,连接AF则AB=AC,BE=CF,∠ACF=∠ABE所以△ABE≌△ACF所以∠F=∠ACE=∠ACB=60°∠BAE=∠FAC所以∠EAF=∠BAC=60°=∠F所以AE=EF=BE+CE