平面几何（1）：中线定理

Question

如题所述

Answer 1

中线定理是平面几何中一个重要定理，用以描述三角形内中线的性质。具体来说，设三角形ABC的边BC的中点为D，则有AD等于三角形ABC周长的一半。此定理的证明可以通过构造高线辅助完成。

证明如下：如图所示，取BC边的中点D，连接AD。根据构造，AD为中线，因此BD=CD。在直角三角形ABD中，利用勾股定理可以得出BD的平方等于AB的平方加上AD的平方减去AB的两倍AD乘以cosB。同理在直角三角形ACD中，可以得出CD的平方等于AC的平方加上AD的平方减去AC的两倍AD乘以cosC。因为BD=CD，将两式联立并消去AD的平方，可以得到AB的平方加上AC的平方等于2AD的平方加上AB的两倍AD乘以cosB加上AC的两倍AD乘以cosC。利用余弦定理，可以将上式简化为AB的平方加上AC的平方等于两倍AD的平方加上AD的两倍(BD乘以cosB+CD乘以cosC)。将BD=CD代入，可以得到AB的平方加上AC的平方等于两倍AD的平方加上两倍AD乘以BD乘以(cosB+cosC)。由于BD=CD，且B+C=π，cosB+cosC=0，因此上式化简为AB的平方加上AC的平方等于四倍AD的平方，即AD等于三角形ABC周长的一半。

中线定理还有其他性质，比如三角形的三条中线都在三角形内，三条中线交于一点，该点是三角形的重心，三角形中线组成的三角形面积等于原三角形面积的3/4，三角形重心将中线分为长度比为1：2的两条线段。这些性质在几何问题中常常被用来简化计算和证明。