微元法求旋转体体积

Question

如题所述

Answer 1

微元法求旋转体体积具体概括为以下四步:1分割、2近似、3求和、4取极限。

该思想方法同样适用于定积分的应用----平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长(数学一、二)、旋转曲面的侧面积(数学一、二)等。

因此务必熟记以下3个公式:

(1)由连续曲线v=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。该立体的体积公式为V=πf(x)dx

推广:若该曲边梯形绕y=y旋转一周而成的立体的体积公式为V=π[f(x)-]dx

(2)由连续曲线x=0(1)，直线y=a，y=b及y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体。

该立体的体积公式为V=πφ²(y)dy

推广:若该曲边梯形绕x=xo轴旋转一周而成的立体的体积公式为V=π[φ()-x]dy

(3)由连续曲线v=fx)，直线x=a，x=b及X轴所围曲边梯形绕v轴旋转一周而成的立体。该立体的体积公式为V=2π/xf(x)dx

推广:若该曲边梯形绕x=x轴旋转一周而成的立体的体积公式为V=2π∫|x-xolf()dx。

注:(2)、(3)均为绕y轴旋转体的计算方法，但是(2)适用于x=φ(y)的情况，即能够找到x关于y的解析式，(3)适用范围是找不到x=φ(1)的关系式，那么我们可以根据v=f(x)来列相应的体积公式。