矢量叉乘，也被称为向量积或外积，是定义在两个向量上的二元运算。设两个向量为A和B，它们的叉乘结果是一个向量，记作C。这个运算有许多重要的性质和应用，包括计算面积、确定两向量的垂直关系、以及在物理学中描述力矩和角动量等。
以下是矢量叉乘的一些基本运算律：
反交换律：A × B = - (B × A)
这意味着改变两个向量的顺序会导致结果向量的方向反转，并且大小保持不变。
分配律：A × (B + C) = A × B + A × C
这表明一个向量与另外两个向量的和的叉乘等于它分别与这两个向量叉乘的和。
结合律：(kA) × B = A × (kB) = k(A × B)
其中k是标量。这表示数乘（标量乘法）可以分配到向量的叉乘上，且可以任意地加到任一因子上。
平行四边形法则：如果两个向量A和B构成平行四边形的相邻两边，则它们的叉乘C的长度等于构成的平行四边形的面积，而方向则垂直于该平行四边形所在的平面。
正交性测试：如果A × B = 0，则A和B要么是零向量，要么彼此共线。也就是说，非零向量的叉乘为零表明它们线性相关。
右手规则：使用右手可以记忆叉乘的方向。如果你的食指指向A的方向，中指指向B的方向，那么伸出的大拇指指向A × B的方向。
混合积性质：对于三个向量A、B和C，它们的混合积A·(B × C)等于这三个向量构成的平行六面体的体积，并且根据它们的排列顺序可以是正值或负值。
洛伦兹变换下的行为：在相对论中，矢量叉乘在洛伦兹变换下是不变的，即在两个惯性参考系之间变换时，空间中两个向量的叉乘结果不随参考系的变换而变化。
几何解释：矢量叉乘的结果不仅依赖于两个原始向量的大小和方向，还依赖于它们之间的夹角。当两个向量垂直时，它们的叉乘达到最大；当它们共线时，叉乘为零。
应用：在工程学、物理学、计算机图形学等领域，矢量叉乘被广泛应用于求解多种问题，如计算力矩、旋转轴、解析几何中的平面方程等。
总结来说，矢量叉乘是一种具有独特性质的向量运算，它在数学和物理中扮演着重要的角色。通过上述的运算律，我们可以更好地理解和利用矢量叉乘来解决实际问题。
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