第4课 因式分解
〖知识点〗
因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。
〖大纲要求〗
理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
〖考查重点与常见题型〗
考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
因式分解知识点
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：
(1)提公因式法
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
(2)运用公式法，即用
写出结果．
(3)十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则 对于一般的二次三项式 寻找满足
a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则
(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
(5)求根公式法：如果 有两个根X1，X2，那么
考查题型：
1．下列因式分解中，正确的是（ ）���������
(A) 1- 14 x2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2
(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)
(D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2
(3 ) 1 x2 –y2 －1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x2 + 1 x2 －2－（ x －1x )2
从左到是因式分解的个数为（ ）
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个
3．若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（ ）
(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
4．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;
5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ;
6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是 ;
7．把下列因式因式分解：
(1)a3－a2－2a (2)4m2－9n2－4m+1
(3)3a2+bc－3ac-ab (4)9－x2+2xy－y2
8．在实数范围内因式分解：
(1)2x2－3x－1 (2)－2x2+5xy+2y2
考点训练：
1. 分解下列因式：
(1).10a(x－y)2－5b(y－x) (2).an+1－4an＋4an-1
(3).x3(2x－y)－2x＋y (4).x(6x－1)－1
(5).2ax－10ay＋5by＋6x (6).1－a2－ab－14 b2
*(7).a4＋4 (8).(x2＋x)(x2＋x－3)＋2
(9).x5y－9xy5 (10).－4x2＋3xy＋2y2
(11).4a－a5 (12).2x2－4x＋1
(13).4y2＋4y－5 (14)3X2－7X+2
解题指导：
1．下列运算:(1) (a－3)2＝a2－6a＋9 (2) x－4＝(x ＋2)( x －2)
(3) ax2＋a2xy＋a＝a(x2＋ax) (4) 116 x2－14 x＋14 ＝x2－4x＋4＝(x－2)2其中是因式分解，且运算正确的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．不论a为何值，代数式－a2＋4a－5值（ ）
（A）大于或等于0 （B）0 （C）大于0 （D）小于0
3．若x2＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则m的值是（ ）
（A）－5 （B）7 （C）－1 （D）7或－1
4．(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0,则x2＋y2的值是 ；
5．分解下列因式：
(1).8xy(x－y)－2(y－x)3 ＊(2).x6－y6
(3).x3＋2xy－x－xy2 ＊(4).(x＋y)(x＋y－1)－12
(5).4ab－（1－a2）（1－b2） (6).－3m2－2m＋4
＊4。已知a＋b＝1,求a3＋3ab＋b3的值
5．a、b、c为⊿ABC三边，利用因式分解说明b2－a2＋2ac－c2的符号
6．0＜a≤5，a为整数，若2x2＋3x＋a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a
独立训练：
1．多项式x2－y2, x2－2xy＋y2, x3－y3的公因式是 。
2．填上适当的数或式，使左边可分解为右边的结果：
(1)9x2－( )2＝(3x＋ )( －15 y), (2).5x2＋6xy－8y2＝(x )( －4y).
3．矩形的面积为6x2＋13x＋5 (x>0),其中一边长为2x＋1,则另为 。
4．把a2－a－6分解因式，正确的是( )
(A)a(a－1)－6 (B)(a－2)(a＋3) (C)(a＋2)(a－3) (D)(a－1)(a＋6)
5．多项式a2＋4ab＋2b2,a2－4ab＋16b2,a2＋a＋14 ,9a2－12ab＋4b2中，能用完全平方公式分解因式的有( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
6．设(x＋y)(x＋2＋y)－15＝0,则x＋y的值是（ ）
(A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)5
7．关于的二次三项式x2－4x＋c能分解成两个整系数的一次的积式，那么c可取下面四个值中的（ ）
(A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －5
8．若x2－mx＋n＝(x－4)(x＋3) 则m,n的值为（ ）
(A) m＝－1, n＝－12 (B)m＝－1,n＝12 (C) m＝1,n＝－12 (D) m＝1,n＝12.
9．代数式y2＋my＋254 是一个完全平方式，则m的值是 。
10．已知2x2－3xy＋y2＝0（x,y均不为零），则 xy ＋ yx 的值为 。
11．分解因式:
(1).x2(y－z)＋81(z－y) (2).9m2－6m＋2n－n2
＊(3).ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2) (4).a4－3a2－4
＊(5).x4＋4y4 ＊(6).a2＋2ab＋b2－2a－2b＋1
12．实数范围内因式分解
（1）x2－2x－4 （2）4x2＋8x－1 （3）2x2＋4xy＋y2
初二数学因式分解测试题
刘锦珍
一、 选择题：
1. 多项式15x3y4m2－35x4y2m2+20x3ym的各项公因式是（ ）
A 5x3y B 5x3ym C 5x3m D5x3m2y
2. 下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A (a+b)2=a2+2ab+b2 B x2-4x+5=(x-2x)2+1
C x2-5x-6=(x+6)(x-1) D x2-10x+25=(x-5)2
3. 若多项式x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A 6 B 3 C －6 D －6或6
4. 把多项式a2+a-b2-b用分组分解法分解因式不同的分组方法有（ ）
A 1种 B 2种 C 3种 D 4种
5. 多项式a2+b2, x2-y2, -x2-y2, -a2+b2中，能分解因式的有（ ）
A 4个 B 3个 C 2个 D 1个
6. 如果多项式x2－mx－15能分解因式，则m的值为（ ）
A 2或－2 B 14或－14 C 2或－14 D ±2或±14
7. 下列各多项式中不含有因式 (x-1) 的是（ ）
A x3-x2-x+1 B x2+y-xy-x C x2-2x-y2+1 D (x2+3x)2-(2x+2)2
8. 若 则x为（ ）
A 1 B －1 C D －2
9. 若多项式4ab－4a2－b2－m有一个因式为（1-2a+b）则m的值为（ ）
A 0 B 1 C －1 D 4
10. 如果 (a2＋b2－3) (a2+b2) －10 = 0那么a2+b2的值为（ ）
A －2 B 5 C 2 D －2或5
二、分解下列各式：
1、- m2 – n2 + 2mn + 1 2、(a + b)3d – 4(a + b)2cd+4(a + b)c2d
3. (x + a)2 – (x – a)2 4.
5. –x5y – xy +2x3y 6. x6 – x4 – x2 + 1
7. (x +3) (x +2) +x2 – 9 8. (x –y)3 +9(x – y) –6(x – y)2
9. (a2 + b2 –1 )2 – 4a2b2 10. (ax + by)2 + (bx – ay)2
三、 简便方法计算：
1. 2.
四、 化简求值：
1. 2ax2 – 8axy + 8ay2 – 2a 2. 已知：a2 – b2 – 5=0 c2 – d2 – 2 =0
其中x –2 y =1 a=3 求：(ac + bd)2 – (ad + bc)2的值
五、 观察下列分解因式的过程： 分解因式的方法，叫做 配方法。
x2 + 2ax – 3a2 请你用配方法分解因式：
=x2+2ax+a2 – a2 – 3a2 （先加上a2,再减去a2） m2 – 4mn +3n2
=(x+a)2 – 4a2 （运用完全平方公式）
=(x+a+2a) (x+a – 2a) （运用平方差公式）
=(x+3a) (x – a)
像上面这样通过加减项配出完全平方式把二次三项式
http://www.shitibaodian.com/chu/UploadFiles_8875/200607/20060727002.doc http://www.kaoshi.ws/html/2005/0311/132010.html 2. 填空
（1）（2m+n）（2m-n）=4m2-n2此运算属于 。
（2）x2-2x+1=（x-1）2此运算属于 。
（3）配完全平方式 49x2+y2+ =（ -y）2
自主学习：
1. 993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。
小时是这样做的？
993-99
=99×992-99×1
=99（992-1）
=99×9800
=98×99×100
所以，993-99能被100整除。
（1） 小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？
（2） 993-99还能被哪些正整数整除。
答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。
（2）还能被98，99，49，11等正整数整除。
2. 计算下列各式：
（1）（m+4）（m-4）= ;
（2）（y-3）2= ；
（3）3x（x-1）= ；
（4）m（a+b+c）= .
根据上面的算式填空：
（1）3x2-3x=（ ）（ ）
（2）m2-16=（ ）（ ）
（3）ma+mb+mc=（ ）（ ）
（4）y2-6y+9=（ ）（ ）
请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？
答案：第一组：
（1）m2-16；（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；
第二组：
（1）3x（x-1）；（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2。
第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。
3. 下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（x+3）（x-3）=x2-9 B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1
C．a2b+ab2=ab（a+b） D．
答案：C
4. 证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被99整除。
证明：设原数百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，则原数可表示为100x+10y+z，交换位置后数字为100 z +10y+ x。
则：（100 z +10y+ x）-（100x+10y+z）
=100 z-100x+x-z
=100（z-x）-（z-x）
=99（z-x）
则原结论成立。
5.（陕西省，中考题）如图3-1①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=（a+b）（a-b）
答案：D。
§2.2提公因式法
教学目的和要求: 经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况);进一步了解分解因式的意义,加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法.
教学重点和难点：
重点：是让学生理解提公因式的意义与原理。
难点：能确定多项式各项的公因式
关键:是让学生理解提公因式的意义与原理。
快速反应：
1. 2m2x+4mx2的公因式___________。
2. a2b+ab2+a3b3的公因式_____________。
3. 5m（a-b）+10n（b-a）的公因式____________。
4. -5xy-15xyz-20x2y=-5xy（____________）.
自主学习：
1. 张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10本，4元一瓶的墨水10瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9折出售，问共需多少钱。
关于这一问题两位同学给出了各自的做法。
方法一：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元）
方法二：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）
请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？
答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数10×90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量。
2. （1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb呢？
（2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。
答案：（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x，多项mb2+nb各项都含有相同的公因式b。
3. 将下列各式分解因式：
3x+6； 7x2-21x； 8a3b2-12ab3c+abc； a（x-3）+2b（x-3）； 5（x-y）3+10（y-x）2。
答案：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2） （2）7x2-21x=7x•x-7x•3=7x（x-3）
（3）8a3b2-12ab3c+abc=ab•8a2b-ab•12b2c+ab•c=ab（8a2b-12b2c+c）
（4）a（x-3）+2b（x-3）=（x-3）（a+2b）
（5）5（x-y）3+10（y-x）2=5（x-y）3+10[-（x-y）]2=5（x-y）3+10（x-y）2=5（x-y）2（x-y+2）
4. 把下列各式分解因式：
（1）3x2-6xy+x （2）-4m3+16m2-26m
答案：（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1） （2）-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）
5. 把 分解因式
答案： =
6. 把下列各式分解因式：
（1） 4q（1-p）3+2（p-1）2
（2） 3m（x-y）-n（y-x）
（3） m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）
答案：（1）4q（1-p）3+2（p-1）2=2（1-p）2（2q-2pq+1）
（2）3m（x-y）-n（y-x）=（x-y）（3m+n）
（3）m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）=2am（x+y）
7. 计算
（1） 已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值；
（2） 1998+19982-19992
答案：（1）a2b+ab2=ab（a+b）,当a+b=13时，原式=40×13=520
（2）1998+19982-19992=-1999
8. 比较2002×20032003与2003×20022002的大小。
解答：设2002=x
∵2002×20032003-2003×20022002=x•10001（x+1）-（x+1）•10001 x=0
∴2002×20032003=2003×20022002
§2.3运用公式法
教学目的和要求: 经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；运用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）
教学重点和难点：
重点：发展学生的逆向思维和推理能力
难点：能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.
快速反应：
1. 分解因式：①x2-y2= ; x2-4= ;②a2b2-2ab+1= ; = ;
2. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．16a2-25b3 B．-16a2-25b2 C．16a2+25b2 D．-(16a2-25b2)
3. 下列各式不能用完全平方公式分解的是( )
A．x2+y2+2xy B．-x2+y2+2xy C．-x2-y2-2xy D．-x2-y2+2xy
4. 把下列各式分解因式：
(1)9a2m2-16b2n2; (2) ; (3)9(a+b)2-12(a+b)+4 (4)
自主学习：
1. (1)观察多项式x2-25.9x-y2,它们有什么共同特证？
(2)将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
答案：(1)多项式的各项都能写成平方的形式。如x2-25中：x2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x-y2也是如此。
(2)逆用乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,可知x2-25= x2-52=(x+5)(x-5),9x2-y2=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
2. 把乘法方式
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2,反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2
上面这个变化过程是分解因式吗？说明你的理由。
答案：a2±2ab+b2=(a±b)2是分解因式。因为(a+b)2是因式的乘积的形式，(a-b)2也是因式的乘积的形式。
3. 把下列各式分解因式：
(1)25-16x2； (2) (3)9(m+n)2-(m-n)2; (4)2x3-8x;
(5)x2+14x+49; (6)(m+m)2-6(m+n)+9(7)3ax2+6axy+3ay2; (8)-x2-4y2+4xy
答案：
(1)25-16x2=(5+4x)(5-4x) (2) =
(3)9(m+n)2-(m-n)2=4(2m+n)(m+2n)
(4)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-2x)=2x(x+2)(x-2)
(5)x2+14x+49= x2+2×7x+72=(x+7)2
(6)(m+m)2-6(m+n)+9=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2
(7)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2
(8)-x2-4y2+4xy=-(x-2y)2
4. 把下列各式分解因式：
(1) ； (2)(a+b)2-1； (3)-(x+2)2+16(x-1)2；
(4)
答案： (1) ; (2)(a+b)2-1=(a+b+1)(a+b-1)
(3)-(x+2)2+16(x-1)2=3(x-2)(5x-2);
(4)
5. 把下列各式分解因式：
(1)m2-12m+36； (2)8a-4a2-4；
(3) ； (4) 。
答案：(1)m2-12m+36=(m-6)2； (2)8a-4a2-4=-4(a-1)2；
(3) ；
(4)
6. 求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。
证明一：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25
=(x2+5x+5)2 ∴原命题成立
证明二：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令a=x2+5x+4，则x2+5x+6=a+2
原式=a(a+2)+1=(a+1)2
即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2
证明三：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令
原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1
=(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2
7. 已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0试判断△ABC的形状。
答案：∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0
∴(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0
∵(a-b) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-c) 2≥0
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0
∴a=b，b=c，a=c
∴这个三角形是等边三角形.
8. 设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值？
答案：当x+2z=3y时，x2-9y2+4z2+4xz的值为定值0。
6. 求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。
证明一：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25
=(x2+5x+5)2 ∴原命题成立
证明二：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令a=x2+5x+4，则x2+5x+6=a+2
原式=a(a+2)+1=(a+1)2
即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2
证明三：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令
原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1
=(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2
1. 根据因式分解的概念，判断下列各等式哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
（1）6abxy=2ab•3xy;
（2）
（3）（2x-1）•2=4x-2
（4）4x2-4x+1=4x（x-1）+1.
2. 填空
（1）（2m+n）（2m-n）=4m2-n2此运算属于 。
（2）x2-2x+1=（x-1）2此运算属于 。
（3）配完全平方式 49x2+y2+ =（ -y）2