简单的函数方程（一）
函数方程的概念：
1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x＋1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x＋2)=f(x)等。其中f(x)是未知函数
2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解
3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程
4.定理（柯西函数方程的解）
若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x＋y)=f(x)＋f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)
证明：由题设不难得
f(x1＋x2＋…＋xn)=f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)
取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)
令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- （1）
x=1，则f(n)=nf(1)
x= ，则f(m)=nf( ) ，解得f( )= f(m)= f(1) --------- (2)
x=－ ，且令y=－x＞0，则f(x)＋f(y)=f(x＋y)=f(0)=0
∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)
由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)
另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列{xn}，则有 ：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)
综上所述，对于任意实数x，有
f(x)=xf(1)
函数方程的解法：
1.代换法（或换元法）
把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数
例1 （1）已知f(2x－1)=x2＋x，那麽f(x)=______________。
略解：设t=2x－1，则x= (t＋1)，那麽f(t)= (t＋1)2＋ (t＋1)= t2＋t＋
故f(x)= x2＋x＋
(2) 已知f( ＋1)=x＋2 ，那麽f(x)=____________。
略解：f( ＋1)=( ＋1)2－1，故f(x)=x2－1 (x≥1)
(3) 已知f(x＋ )=x2＋ ，那麽f(x)=_______________。
略解：f(x＋ )=(x＋ )2－2，故f(x)=x2－2 (|x|≥2)
例2 设ab≠0,a2≠b2，求af(x)＋bf( )=cx的解
解：分别用x= ，x=t代入已知方程，得
af( )＋bf(t)= ------(1)
af(t)＋bf( )=ct------(2)
由（1），（2）组成方程组解得 f(t)=
即： f(x)=
2.待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得
例3 已知f(x)是一次函数，且f{f[f---f(x)]}=1024x＋1023。求f(x)
10次
解：设f(x)=ax＋b (a≠0)，记f{f[f…f(x)]}=fn(x)，则
n次
f2(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋b=a2x＋b(a＋1)
f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x＋b(a＋1)]＋b=a3x＋b(a2＋a＋1)
依次类推有：f10(x)=a10x＋b(a9＋a8＋…＋a＋1)=a10x＋
由题设知：
a10=1024 且 =1023
∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3
∴f(x)=2x＋1 或 f(x)=－2x－3
3.迭代法（见竞赛辅导第三讲函数迭代知识）
由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法
例4 设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy。求f(x)
解：令y=1，得f(x＋1)=f(x)＋x＋1
再依次令x=1，2，…，n－1，有
f(2)=f(1)＋2
f(3)=f(2)＋3
……
f(n－1)=f(n－2)＋(n－1)
f(n)=f(n－1)＋n
依次代入，得
f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n－1)＋n=
∴f(x)=
(x∈N+)
例5 ，已知f(1)= 且当n＞1时有 。求f(n) (n∈N+)
解：把已知等式（递推公式）进行整理，得
f(n－1)－f(n)=2(n＋1)f(n)f(n－1)
∴ =2(n＋1)
把n依次用2，3，…，n代换，得
－ =2×3
－ =2×4
……
=2(n＋1)
上述(n－1)个等式相加，得
=2[3＋4＋…＋(n＋1)]=(n－1)(n＋4)
∴ = ＋(n－1)(n＋4)=n2＋3n＋1
∴f(n)=
4.柯西法
在f(x)单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解
例6 设f(x)连续且恒不为0，求函数方程f(x＋y)=f(x)f(y)的解
解：∵f(x)=f( ＋ )=f( )f( )≥0
若存在x0∈R，使f(x0)=0。则对一切实数x，有
f(x)=f(x－x0＋x0)=f(x－x0)f(x0)=0
这与f(x)不恒为0矛盾，故f(x)＞0
对题设f(x＋y)=f(x)f(y)两边取自然对数，得
㏑f(x＋y)=㏑f(x)f(y)
∴㏑f(x＋y)=㏑f(x)＋㏑f(y)
令g(x)=㏑f(x)
∵f(x)＞0且连续 ∴g(x)连续且满足g(x＋y)=g(x)＋g(y).由定理知：
g(x)=g(1)x
故 ㏑f(x)=x㏑f(1)
∴f(x)=ex㏑f(1)=f(1)x
令f(1)=a，则f(x)=ax (a＞0)
类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：
（1） 若f(xy)=f(x)＋f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=㏒ax
（2） 若f(xy)=f(x)f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=x2
（3） 若f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋kxy,则f(x)=ax2＋bx
（4） 若f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x),则f(x)=ax＋b
课后练习：
1、 下面四个数中，满足 = [f(x)＋f(y)]的函数是 （ ）
A.㏑x B. C.3x D.3x
2、 如果对x∈R有2f(1－x)＋1=xf(x)，那麽f(x)=__________。
3、 对任意实数x,y，函数f(x)有f(x＋y)=f(x2)＋f(2y)，则f(1985)=( )
A.1985 B. C.3990 D.以上答案都不对
4、 已知f(1)=1,f(n)－f(n－1)=an,n∈N+。求f(n)
5、 解方程 xf(x)＋2f( )=1
6、 已知f(x)连续且定义在非零实数集上，满足 ，求f(x)
参考资料：http://www.csfls.com/bumen/sxz/kejianyujiaoan/4.doc
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