倾斜角取值范围

Question

若圆x²+y²-4x-4y=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2倍根号2，则直线l的倾斜角的取值范围（ ）
A、【15°，45°】
B、【15°，75°】
C、【30°，60°】
D、【0°，90°】
望给出讲解，谢

Answer 1

选B

x^2+y^2-4x-4y=0
(x-2)^2+(y-2)^2=（2√2）^2
直线是过原点的任意旋转的直线族.

画图可以看出,直线必穿过圆,把圆分成两部分,
可能是一大一小,也可能是相等的两部分.

一.相等时,半径R=2√2>√2,符合题意.

二.不相等时,要保证小弧的顶点到直线的距离d≥√2
则圆心到直线的距离D≤2√2-√2=√2

圆心到直线的距离为√2,则这样的直线方程有两种情况:
一种是在圆心下方,一种是在圆心上方.
在这两条线之间的直线也符合.

下面算直线方程:
原点为O,圆心为M,连接OM
有圆心M(2,2),可知OM的与x轴夹角为45度

过M作MH垂直于所求直线,垂足为H.
在直角三角形OMH里,OM=2√2
MH=D=√2
可得角MOD=30度

所以OH与x轴的夹角为：45-30=15度

同理，可以求出直线在圆心上方时的直线倾角。

这道题作为选择题，求一个角就够了，有15度，就知道答案了。选B