设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。
1、内心在△ABC三边距离相等，这个相等的距离是△ABC内切圆的半径；
2、若I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，则有DI=DB＝DC，即D为△BCI的外心。
3、r=S/p（S表示三角形面积）
证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。
4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。
5、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。
6、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。
7、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。
扩展资料
内心的运用：
RT△ABC中，，AC=6，BC=8，则△ ABC 的内切圆半径为r=2（图见上）
解析：⊙O是△ ABC的内切圆，设切点分别为D,E,F，连接OD,OE,OF,则OD⊥BC,OF⊥AB,OE⊥AC,由勾股定理可得AB=10。
连接OA,OB,OC,则OD,OE,OF,可分别看成△BOC, △AOC,△AOB的一条高，且OD=OE=OF=r,则BD=6-r,AE=8-r,由切线长定理可得BF=BD=6-r,AF=AE=8-r,而BF+AF=6-r+8-r=AB=10，r=1/2(6+8-10)=2.
参考资料来源：百度百科-内心
1. 使用角平分线定理：在三角形的每个内角上作角平分线，这些角平分线的交点即为三角形的内心。
2. 证明角平分线的交点是三角形的内心：证明交点到三条边的距离相等，即交点到三条边的距离分别等于三角形的内切圆的半径。
3. 证明内心在三角形内部：证明交点到三条边的距离小于各边的一半。
通过这些步骤，可以证明三角形内心的存在，并找到它的位置。