专题一 集合与简单逻辑
集合的表示方法：描述法、列举法、区间、（Venn图示）
用反证法证简易逻辑
1．对于集合问题，要确定属于哪一类集合（数集，点集或图行集）
注：其中角集及角度集不能用区间表示，区间只能表示数集。
2，集合运算先化最简形式，再进行演算。
3，含参数的集合问题，根据集合中元素互异性处理，有时要分类讨论，数形结合处理。
4，集合问题多与函数，方程，不等式有关，要注意与其他知识连用。
5，注意集合问题题设中的一些语句，如：都是与不都是，任意的与某个等。
注：偶函数＋偶函数=偶函数(用定义证明)
补充：（1）空集是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集
（2）任意一个集合是它本身的子集
(3)Cu(A∩B)=(CuA)∪(CuB) Cu(A∪B)=(CuA)∩(CuB)
专题二 函数
函数三要素:定义域、值域、对应法则
表示函数的方法：表格、图象、解析式
用定义证明函数单调性、奇偶性
奇函数关于原点对称，偶函数关于Y轴对称
函数的性质包括：定义域、奇偶性、单调性、周期性
*抽象函数具体问题具体分析
1.函数的值域问题常常化归为求函数的最值问题,要注意利用基本不等式,二次函数及函数的单调性。求函数值域重视对应法则作用,还要特别注意定义域的制约作用,还要注意其他方面的限制条件即要考虑全面 特别注意:二次函数给定区间
2.求解析式方法:
(1)引入合适变量,适用于实际问题(应用题)即``建模’’
(2)待定系数法
(3)换元法
(4)解方程法:根据已知等式再构造其他等式组成方程组,求出f(x)
3.判断单调性：
（1）定义法
*（2）增+增=增 减—减=减
增—减=增 减—增=减
（3）奇同偶反
（4）互为反函数具有相同的单调性
（5）如果f(-x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任意子区间上也是增（减）函数
（6）同增异减
4.判断奇偶性
(1)解题中挖掘函数周期性和奇偶性,为解题提供方便
(2)将函数简化,再用定义
f(-x)=±f(x)←→f(-x)±f(x)=0←→f(-x)/f(x)=±1 [f(x)≠0]
☆ 注意:如果是奇函数,要么不过(0,0),要么肯定过(0,0)
解函数题时,如果遇到困难,可以考虑以下两种方法:
(1)正难则反
(2)分离变量
利用二次函数、二次方程、二次不等式互相转化的思想解决最值问题、根分布问题、不等式问题、应用问题等各类综合性问题
1.对于函数f(x)=a(x-h) ²+k (a＞0) x∈[p,q]的最值问题,最好是用图象法,尤其是当``轴变区间定”和‘‘轴定区间变”时,这两种情况利用图象作参考.找出讨论是分类的标准.解决“轴定区间也定”这种情况,可以不利用图象.若h∈[p,q],则x=h时,有最小值k.最大值是f(p)与f(q)中较大者,若h不∈[p,q]，则f(p)与f(q)中较小值为最小值，较大者为最大值，即最值在区间的端点处取得
2.对于f(x)≥0在区间[p,q]上恒成立问题,等价转换成f(x)在[p,q]上的最小值问题,最小值为0 做这种题最经典的方法是分离变量
3.当二次项系数为负数时，要将其转换为正数。当解一元二次方程且其中有一个根有限制条件时，往往要借助图象
4.在解一元二次不等式时要注意反过来时的问题,尤其是一元二次不等式的解集是空集和R的情况的等价命题:ax²+bx+c＞0的解集是R←→｛a＞o,△＜0或{a=b=o,c＞0. ax²+bx+c＜0的解集是R←→{a<0,△<0或{a=b=0,c<0
一些解题技巧:
解关于二次不等式时:第一步考虑△,还要考虑对称轴,有时还需运用韦达定理
第二步观察定义域,值域限制条件
注:当在某区间内有实根时,将区间内两值代如相乘乘积为负数,称为值域法
当字母中含参数时,注意分类讨论
当解出几解是,要验证是否每一解都符合
当出现指数、对数函数时,注意对字母的特殊要求,有时可以用换元法(注意可以用上判断奇偶性,单调性的方法)
还要注意题设中的细节
1.指数函数的底数大于0且不等于1.这是隐含条件
2.指数函数的底数a>1时,是增函数.当0<a<1时,是减函数.当底数不确定时,要分类讨论
*3.比较两个指数幂的大小时:
(1)化同底或同指:当底同指不同时,构造同一指数函数,比大小
当指同底不同时.构造两个指数函数,利用图象比大小
(2)通过找中间量比大小
4.解简单的指数不等式时,当底数喊参数,且底数与1大小不确定时,要分类讨论
5.比较两个对数的大小的基本方法是:
(1)构造对应的对数函数
[(2)用换底公式化同底 ㏒ab=㏒eb/㏒ea]
(3)注意与0或1比较
6.注意用上分离变量
7.解对数方程的基本思路是化为代数方程。它的常见类型有：
（1）形如logaf(x)=logag(x)(a>0,a≠1)的方程,化为f(x)=g(x)求解
(2)形如F(logax)=0的方程用换元法
(3)形如logf(x)g(x)=c的方程，化为指数式[f(x)∧c=g(x)求解
注：有时将指数与对数方程相互转换对解题有帮助
*8.解对数方程注意验根
9.含参数的指数、对数方程在求解时,注意将原方程等价转换为某个混合组,并注意等价转换原则下简化求解,对含参数讨论
10.指数,对数方程属于超越方程,要注意转化
拐点 是事物发展过程中运行趋势或运行速率的变化。
在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点！！
当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。
在生活中，拐点多用来说明某种情形持续上升一段时间后开始下降或回落，——这句话是错的，这是极值点、稳定点或者叫驻点；
所以，有了经济的拐点，放低长的拐点，以及股市的拐点。
若函数y=f(x)在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数y=f(x)的拐点。另外，如果c是拐点，必然有f''(c)=0或者f''(c)不存在；反之则不成立；比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但是0两侧全是凸，所以0不是函数f(x)=x^4的拐点。
拐点的求法： 我们可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
（1）求f''(x)；
（2）令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；
（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0,f(x0)）是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0,f(x0)）不是拐点。
一会凹一会凸 凹凸的连接点 就是拐点
有拐点的函数就是拐点函数
如果一个函数的解析式含有绝对值符号，则这个函数可化为分段函数。其常用解法是把各分段上的函数看做独立函数，分别求出它们的单调区间，然后再整合到一起，但要注意分段函数的单调区间一定要在其定义域内。
借助二次函数图象的直观性来判断函数的最值时，需要确定二次函数的开口方向及对称轴是否落在区间内。
解函数应用题一般分为如下四个步骤：
①审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③求解：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将得出的结论，还原为实际问题的意义，即作答。
在求函数值域时有以下八种方法:
方法一：观察法 此方法适用于解答选择题和填空题。
方法二：不等式法 此方法适用于解答综合题.
方法三：反函数法 此方法适用范围比较狭窄，最适用于x为一次的情形。
方法四：分离常数法
方法五：判别式法 此方法适用于x为二次的情形
方法六：图象法 此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。
方法七：中间变量法 此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。
方法八：配方法 此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。
函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是学习函数的难点之一。反函数在历年高考中也占有一定的比例。现对反函数的性质作如下归纳。
性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域
在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。
掌握函数图象的两种基本方法：描述法和图象变换法 （三角函数中有五点作图法）
图象的变换：平移、旋转、对称、伸缩
专题三 三角函数的图象和性质
1.利用单位圆、三角函数的图象及数轴（求区间交集时常用数轴，比坐标系简单）求三角函数的定义域
2.求三角函数值域常用的方法:
(1)判别式、重要不等式、单调性
★（2）将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域。如：转化为：y=asin²x+bsinx+c
(3)利用sinx,cosx的有界性(最大值,最小值)求值域
(4)换元法
利用换元法求三角函数的值域要注意前后的等价性(换后前后相等,定义域,值域不变)
3.三角函数单调性的确定:一般先将函数式化为三角函数的标准式,然后通过变形或利用数形结合的方法求解.若对函数进行描点画图,则通过图形的直观性获解
4.判断函数的奇偶性,应首先判断函数定义域的对称性
5.三角函数最小正周期的求法:主要是通过恒等式转换为基本三角函数类型,形如:
y=Asin(ωx+φ),但要注意变形前后的等价性.另外还有图象法和定义法
★ 总之求函数的单调区间,周期及判断函数的奇偶性,要注意化归思想的运用,如函数y=sin(-x)与y=sin(x)在同一区间的增减性是相反的,因为sin(-x)=-sin(x)
6.三角函数图象变换是变量变而不是角度变
7.给出图象确定解析式:y=Asin(ωx+φ)的题型,有时从寻找``五点法’’中的第一点(-φ/ω,0)作为突破口,要从周期的升降情况找准第一零点的位置
附公式：
1．和角公式
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny(Sx+y)
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny(Cx+y)
tan(x+y)=tanx+tany/1-tanxtany(Tx+y)
2．差角公式
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny(Sx-y)
cos(x-y)=cosxcosys+inxsiny(Cx-y)
tan(x-y)=tanx-tany/1+tanxtany(Tx-y)
3.倍角公式
sin2x=2sinxcosx
cos2x=（cos^2）x-（sin^2）x=2（cos^2）x-1=1-2sin^2x
tan2x=2tanx/1-（tan^2）x
sin3x=3sinx-4（sin^3）x
cos3x=4（cos^3）x-3cosx
tan3x=3tanx-（tan^3）x/1-3（tan^2）x
4.降幂公式
（sin^2）x=1-cos2x/2
（cos^2）x=i=cos2x/2
1.万能公式
令tan(a/2)=t
sina=2t/(1+t^2)
cosa=(1-t^2)/(1+t^2)
tana=2t/(1-t^2)
2.二倍角公式
sin2x=2sinxcosx cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x tan2x=sin2x/cos2x
3.三倍角公式
sin(3a)=3sina-4(sina)^3
cos(3a)=4(cosa)^3-3cosa
tan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]
4.积化和差
sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2
cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2
sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
5.和差化积
sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]
cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
三倍角公式在课后题中有涉及,万能公式有介绍.另外还有半角公式,实际上为倍角公式的变形.
在三角函数这一块,还有很多的变形,可在做题中积累.
积化和差
sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2
cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2
sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
和差化积
sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]
cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
专题四 平面向量
[编辑本段]向量的概念
既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
[编辑本段]向量的几何表示
具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）
有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。
有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。
相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，
向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，
在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）
长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
[编辑本段]向量的运算
加法运算
AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点）
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。
|a＋b|≤|a|＋|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减数）
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。
设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ + μ)a = λa + μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
[编辑本段]向量的数量积
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。
a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
向量的数量积的性质
(1)a·a=∣a∣^2≥0
(2)a·b=b·a
(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)
(4)a·(b+c)=a·b+a·c
(5)a·b=0?a⊥b
（6）a=kb?a//b
（7）e1?e2=|e1||e2|cosθ=cosθ
[编辑本段]平面向量的基本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、μ，使a= λ*e1＋ μ*e2。
既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，书写体是上面加个→）
有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。
有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。
长度等于0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。