请问这道题第三小题，不建系的话怎么做？

Question

如题所述

Answer 1

这是一个几何体的示意图，包含了一些线段和角度。具体来说：
• 点A、B、C、D构成一个正方形ABCD。
• 点O是这个正方形的中心。
• 点E、F在与正方形垂直的平面上，且四边形OBEF为矩形。
• 点G是AB的中点。
根据这些信息，可以回答以下问题：
(1) 要证明EG//平面ADF，需要证明EG平行于平面ADF内的任意一条直线。由于平面ADF包含AD和AF两条直线，如果能证明EG平行于其中任何一条，即可证明EG//平面ADF。具体证明过程需要进一步分析图形。
(2) 要求二面角O-EF-C的正弦值，首先需要确定这个二面角的大小。可以通过计算平面OEF和平面C之间的夹角来得到。具体方法包括使用向量法或者利用三角函数进行计算。
(3) 设H为线段AF上的点，且AH=23HF，要求直线BH和平面CEF所成角的正弦值。首先需要确定这个角的大小，然后使用三角函数进行计算。具体方法包括使用向量法或者利用三角函数进行计算。
如果不通过建立坐标系（即不使用向量方法）来解决第三小题，即求直线BH与平面CEF所成角的正弦值，可以考虑以下几何思路：
1. 构造辅助线
：考虑到直线BH与平面CEF的交点是关键，但直接找这个交点可能不直观。可以考虑在平面CEF内找到一条直线，这条直线同时与BH有明确的几何关系，例如BH在该平面的投影线或者通过相交构造的线。
2. 利用相似三角形
：在正方形ABCD和平行于它的平面内构造相似三角形。由于AH:HF = 23:1，可以考虑利用正方形的性质以及点G（AB中点）的特殊位置，看是否能形成有助于解决问题的相似三角形。例如，考虑点H在AF上的位置，以及它如何影响线段BH与周围结构的关系。
3. 利用平面几何性质
：考虑平面CEF内可能存在的垂线或等分线，比如从B点作平面CEF的垂线（如果垂线存在且对解题有帮助的话），或者找到BH在平面CEF上的射影，进而利用直角三角形的性质来解决问题。
4. 运用平面与线面角的定义
：直线与平面所成的角实际上是直线的方向向量与平面法向量之间的夹角的补角。虽然这里不直接建立坐标系求向量，但可以间接地利用这一概念，比如通过平行线和垂直线的性质来间接判断或计算这个角。
然而，没有具体的图示或更多的几何条件，直接不通过建系求解这个问题的具体数值可能会非常复杂，甚至不可行，因为缺乏直接测量角度或计算所需的直观几何关系。通常，这类问题在不建系的情况下需要依赖于图形的特殊性质或巧妙的几何构造，而这些在当前描述中并不明显。因此，若无进一步具体信息，我们难以不用向量法给出直接的计算步骤。