如何求解∫arctanxdx/ x²

Question

如题所述

Answer 1

【求解答案】

【求解思路】

1、先用凑微分法，将dx改写成d(1/x),再用分部积分法公式，进一步计算

2、用裂变法，将1/(x(1+x²))分解成1/x-x/(1+x²)

3、用基本积分公式，求∫1/xdx，用凑微分法，求∫x/(1+x²)dx→1/2∫1/(1+x²)d(x²)

4、最后整理积分结果，并加上积分常数C

【求解过程】

【本题知识点】

1、不定积分。

设f(x)在某区间I上有定义，如果存在函数F(x)，使得对于任一x∈I，成立F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的原函数，且f(x)的不定积分为

∫f(x)dx=F(x)+C

式中：∫——积分号，f(x)dx——被积式，f(x)——被积函数，F(x)——原函数，C——积分常数

注意：如果将求导看成一种运算，那么积分是其逆运算，也就是已知f(x)，要找一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，所以相对而言，积分比求导要困难。

2、分部积分法。

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

简写形式

微分形式

3、凑微分法。凑微分法，把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，换元积分两种方法中第一类换元积分法的别称。

本题中，d(1/x)就是凑微分的形式，把(1/x)可以看成是一个新的变量。

4、本题所用的基本积分公式和微分公式。

5、裂变法。裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。通常用于代数，分数，有时候也用于整数。

常用的裂项法公式

Answer 2

解：用分部积分法求解。
∫arctanxdx/x²=∫arctanxd(-1/x)=-arctanx/x+∫dx/[x(1+x²)]。
而，∫dx/[x(1+x²)]=∫[1/x-x/(1+x²)]dx=ln丨x丨-(1/2)ln(1+x²)+C,
∴∫arctanxdx/x²=-arctanx/x+ln丨x丨-(1/2)ln(1+x²)+C。
供参考。