圆方程的五种形式：标准式、一般式、参数式、直径式、数字式，圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。圆有无数条对称轴。在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆可以表示为集合{M||MO|=r}，其中O是圆心，r是半径。圆的标准方程是(x-a)+(y-b)=r，其中点(a,b)是圆心，r是半径。圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。
圆面积计算公式：公式：圆周率乘以半径的平方。
用字母可以表示为：S=πr²或S=π*（d/2)²。（π表示圆周率，r表示半径，d表示直径）。
圆的面积=3.14×半径×半径。
圆的周长=3.14×直径=3.14×半径×2。
公式推导：圆周长（c）：圆的直径（D），那圆的周长（c）除以圆的直径（D）等于π，那利用乘法的意义，就等于 π乘圆的直径（D）等于圆的周长（C），C=πd。而同圆的直径（D）是圆的半径（r）的两倍，所以就圆的周长（c）等于2乘以π乘以圆的半径（r），C=2πr。
把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。长方形的面积是ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以π， S=πr²。
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第1个回答 2023-01-09
圆的标准方程中(x－a)²+(y－b)²=r²中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
圆的方程编辑
X²+Y²=1 ，圆心O（0，0）被称为1单位圆
x²+y²=r²，圆心O（0，0），半径r；
(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心O（a，b），半径r。
确定圆方程的条件
圆的标准方程中(x－a)²+(y－b)²=r²中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：
根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)²+(y－b)²=r²；
根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。
2方程推导编辑
(x-a)²+(y-b)²=r²
在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。
圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。
所以√[(x-a)²+(y-b)²]=r
两边平方，得到
即(x-a)²+(y-b)²=r²
3一般式编辑
x²+y²+Dx+Ey+F=0
此方程可用于解决两圆的位置关系
配方化为标准方程：（x+D/2)².+(y+E/2)²=（ (D²+E²-4F)/4 ）
其圆心坐标：（-D/2,-E/2）
半径为r=[√（D²+E²-4F）]/2
此方程满足为圆的方程的条件是:
D²+E²-4F>0
若不满足,则不可表示为圆的方程
已知直径的两个端点坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（x，
Y）。则有：向量AC*BC=0 可推出方程：（X-m）*（X-p）+（Y-n）*（Y-q）=0 再整理即可得出一般方程。
4点与圆编辑
点P（X1,Y1) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：
⑴当(x1－a)²+(y1－b) ²>r²时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)²+(y1－b) ²=r²时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)²+(y1－b) ²<r²时，则点P在圆内。
5圆与直线编辑
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：
如果b²-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b²-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)²+(y－b) ²=r²。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：
当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；
当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；
半径r，直径d
在直角坐标系中，圆的标准方程为：(x-a)²+(y-b)²=r²;
x²+y²+Dx+Ey+F=0
=> (x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4
=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)
其实只要保证X方Y方前系数都是1
就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)
这可以作为一个结论运用的
且r=根号（圆心坐标的平方和-F）
6圆上一点的切线方程编辑
(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点（X0，Y0）该点的切线方程：
（X-a)（X0-a)+（Y-b）（Y0-b)=r*2
7练习编辑
同步达纲练习A级
一、选择题
1.若直线4x-3y-2=0与圆x²+y²-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是( )A.-3<a<7 B.-6<a<4C.-7<a<3 D.-21<a<19
2.圆(x-3)²+(y-3)²=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.使圆(x-2)²+(y+3)²=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1) D.( +2， -3)
4.若直线x+y=r与圆x²+y²=r(r>0)相切，则实数r的值等于( )A. B.1 C. D.2
5.直线x-y+4=0被圆x²+y²+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8 B.4 C.2 D.4
二、填空题
6.过点P(2，1)且与圆x²+y²-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .
7.设集合m={(x,y)|x²+y²≤25},N={(x,y)|(x-a)²+y²≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是 .
8.已知P(3，0)是圆x²+y²-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是( )，过点P的最长弦所在直线方程是 .
三、解答题
9.已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.
10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+x 有两个不同的交点，求实数k的取值范围.
参考答案同步达纲练习A级
1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2或3x-4y-2=0 7.-2≤a≤2 8.x+y-3=0，x-y-3=0 9.m=3 10.( , )
8总结编辑
定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，一个端点绕它的另一个端点旋转一周，所留下的轨迹叫圆。
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心
（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O表示
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
9直线与圆编辑
位置关系
⑴直线与圆相交（d<r），有两个公共点。
圆与直线的关系
⑵直线与圆相切（d=r），只有一个公共点。
⑶直线与圆相离（d>r），没有公共点。
代数法
如果直线方程y=kx+m，圆的方程为（x-a)²+（y-b)²=r²,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程Px²+Qx+R=0(P≠0),那么：
a.当△<0时，直线与圆没有公共点；
b.当△=0时，直线与圆相切；
c.当△>0时，直线与圆相交。
几何法
求出圆心到直线的距离d，半径为r
d>r，则直线与圆相离
d=r，则直线与圆相切
d<r，则直线与圆相交
10判断步骤编辑
①计算两圆的半径，r1，r2；
②计算两圆的圆心距d；
③根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系.
11判断公式编辑
若两圆的方程分别为C1：(x－x1)²+(y－y1)²=r1²，C2：(x－x2)²+(y－y2)²=r2²：
则两圆外离r1+r2<d；
两圆外切r1+r2=d；
两圆相交|r1－r2|<d<r1+r2；
两圆内切|r1－r2|=d；
两圆内含|r1－r2|>d.
12代数编辑
将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.
若方程中△>0，则两圆相交；
若方程中△=0，则两圆相切；
若方程中△<0，两圆外离或内含.（此方法仅用于判断两个圆的位置关系，不适用于其他的二次曲线的位置关系的判断问题）
13圆系方程编辑
经过两圆x²+y²+D1x+E1y+F1=0与x²+y²+D2x+E2y+F2=0的交点圆系方程为：
x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)
例题：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解：圆x²+y²=25和(x-1)²+(y-1)²=16的公共弦方程为
x²+y²-25-[(x-1)²+(y-1)²-16]=0，即2x+2y-11=0
过直线2x+2y-11=0与圆x²+y²=25的交点的圆系方程为
x²+y²-25+λ(2x+2y-11)=0，即x²+y²+2λy+2λx-(11λ+25)=0
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4
代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)²+(y-11/4)²=79/8本回答被网友采纳
圆的方程编辑
X²+Y²=1 ，圆心O（0，0）被称为1单位圆
x²+y²=r²，圆心O（0，0），半径r；
(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心O（a，b），半径r。
确定圆方程的条件
圆的标准方程中(x－a)²+(y－b)²=r²中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：
根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)²+(y－b)²=r²；
根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。
2方程推导编辑
(x-a)²+(y-b)²=r²
在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。
圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。
所以√[(x-a)²+(y-b)²]=r
两边平方，得到
即(x-a)²+(y-b)²=r²
3一般式编辑
x²+y²+Dx+Ey+F=0
此方程可用于解决两圆的位置关系
配方化为标准方程：（x+D/2)².+(y+E/2)²=（ (D²+E²-4F)/4 ）
其圆心坐标：（-D/2,-E/2）
半径为r=[√（D²+E²-4F）]/2
此方程满足为圆的方程的条件是:
D²+E²-4F>0
若不满足,则不可表示为圆的方程
已知直径的两个端点坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（x，
Y）。则有：向量AC*BC=0 可推出方程：（X-m）*（X-p）+（Y-n）*（Y-q）=0 再整理即可得出一般方程。
4点与圆编辑
点P（X1,Y1) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：
⑴当(x1－a)²+(y1－b) ²>r²时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)²+(y1－b) ²=r²时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)²+(y1－b) ²<r²时，则点P在圆内。
5圆与直线编辑
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：
如果b²-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b²-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)²+(y－b) ²=r²。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：
当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；
当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；
半径r，直径d
在直角坐标系中，圆的标准方程为：(x-a)²+(y-b)²=r²;
x²+y²+Dx+Ey+F=0
=> (x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4
=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)
其实只要保证X方Y方前系数都是1
就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)
这可以作为一个结论运用的
且r=根号（圆心坐标的平方和-F）
6圆上一点的切线方程编辑
(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点（X0，Y0）该点的切线方程：
（X-a)（X0-a)+（Y-b）（Y0-b)=r*2
7练习编辑
同步达纲练习A级
一、选择题
1.若直线4x-3y-2=0与圆x²+y²-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是( )A.-3<a<7 B.-6<a<4C.-7<a<3 D.-21<a<19
2.圆(x-3)²+(y-3)²=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.使圆(x-2)²+(y+3)²=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1) D.( +2， -3)
4.若直线x+y=r与圆x²+y²=r(r>0)相切，则实数r的值等于( )A. B.1 C. D.2
5.直线x-y+4=0被圆x²+y²+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8 B.4 C.2 D.4
二、填空题
6.过点P(2，1)且与圆x²+y²-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .
7.设集合m={(x,y)|x²+y²≤25},N={(x,y)|(x-a)²+y²≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是 .
8.已知P(3，0)是圆x²+y²-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是( )，过点P的最长弦所在直线方程是 .
三、解答题
9.已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.
10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+x 有两个不同的交点，求实数k的取值范围.
参考答案同步达纲练习A级
1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2或3x-4y-2=0 7.-2≤a≤2 8.x+y-3=0，x-y-3=0 9.m=3 10.( , )
8总结编辑
定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，一个端点绕它的另一个端点旋转一周，所留下的轨迹叫圆。
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心
（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O表示
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
9直线与圆编辑
位置关系
⑴直线与圆相交（d<r），有两个公共点。
圆与直线的关系
⑵直线与圆相切（d=r），只有一个公共点。
⑶直线与圆相离（d>r），没有公共点。
代数法
如果直线方程y=kx+m，圆的方程为（x-a)²+（y-b)²=r²,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程Px²+Qx+R=0(P≠0),那么：
a.当△<0时，直线与圆没有公共点；
b.当△=0时，直线与圆相切；
c.当△>0时，直线与圆相交。
几何法
求出圆心到直线的距离d，半径为r
d>r，则直线与圆相离
d=r，则直线与圆相切
d<r，则直线与圆相交
10判断步骤编辑
①计算两圆的半径，r1，r2；
②计算两圆的圆心距d；
③根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系.
11判断公式编辑
若两圆的方程分别为C1：(x－x1)²+(y－y1)²=r1²，C2：(x－x2)²+(y－y2)²=r2²：
则两圆外离r1+r2<d；
两圆外切r1+r2=d；
两圆相交|r1－r2|<d<r1+r2；
两圆内切|r1－r2|=d；
两圆内含|r1－r2|>d.
12代数编辑
将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.
若方程中△>0，则两圆相交；
若方程中△=0，则两圆相切；
若方程中△<0，两圆外离或内含.（此方法仅用于判断两个圆的位置关系，不适用于其他的二次曲线的位置关系的判断问题）
13圆系方程编辑
经过两圆x²+y²+D1x+E1y+F1=0与x²+y²+D2x+E2y+F2=0的交点圆系方程为：
x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)
例题：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解：圆x²+y²=25和(x-1)²+(y-1)²=16的公共弦方程为
x²+y²-25-[(x-1)²+(y-1)²-16]=0，即2x+2y-11=0
过直线2x+2y-11=0与圆x²+y²=25的交点的圆系方程为
x²+y²-25+λ(2x+2y-11)=0，即x²+y²+2λy+2λx-(11λ+25)=0
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4
代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)²+(y-11/4)²=79/8本回答被网友采纳
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