只是因为f（a）=cosa+isina和f（a）=e^ia都符合棣莫弗公式就能将它们等同起来？

Question

如题所述

Answer 1

你学过微积分么？
设y=(cosx+isinx)/(e^(ix)) （显然e^(ix)=/=0)
y'=(e^(ix)*(-sinx+icosx)-ie^(ix)*(cosx+isinx))/(e^(2ix))
=0
所以y是常函数，设y=c，
当x=0时，y=(cos0+isin0)/(e^(i0))=1
所以c=1，y恒等于1，
所以cosx+isinx==e^(ix)

Answer 2

你学过复变函数后可以证明:
e^x的泰勒级数和实数一样(x是复数):
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
e^ia=1+(ia)+(ia)^2/2!+(ia)^3/3!+...+(ia)^n/n!+...
=(1-a^2/2!+a^2/4!-a^6/6!+...+(-1)^na^2n/(2n)!...)
+(ia+(ia)^3/3!+(ia)^5/5!+...+(ia)^(2n+1)/(2n+1)!...)
=(1-a^2/2!+a^2/4!-a^6/6!+...+(-1)^na^2n/(2n)!...)
+i(a+(i^2)a^3/3!+(i^4)a^5/5!+...+(i^2n)a^(2n+1)/(2n+1)!...)
=(1-a^2/2!+a^2/4!-a^6/6!+...+(-1)^na^2n/(2n)!...)
+i(a-a^3/3!+a^5/5!+...+(-1)^na^(2n+1)/(2n+1)!...)...①
三角函数泰勒级数和实数时一样(a是复数):
cosa=1-a^2/2!+a^4/4!+...+(-1)^na^2n/(an)!+..②
sina=1-a^3/3!+a^5/5!+..+(-1)^na^(2n+1)/(2n+1)!..③
比较①,②,③,cosa+isina=e^ia成立

参考资料：请参考复变函数泰勒级数和洛朗级数相关内容