这个式子为什么不可以使用洛必达法则？

Question

谢谢
sin(1/x) 为什么没极限呢？

Answer 1

先解释sin(1/x)没极限：
因为当x趋于0时，1/x趋于无穷，由于sinx是周期函数，所以sin(1/x)没极限

这是不能用洛必达法则的。
你看一下x^2sin(1/x)的导数为：
2xsin(1/x)+x^2cos(1/x)[-1/(x^2)]
=2xsin(1/x)-cos(1/x)
当x趋于0时，2xsin(1/x)是趋于0，但-cos(1/x)没有极限
所以当x趋于0时，x^2sin(1/x)的导数没有极限，
因此不能用洛必达法则

Answer 2

sin(1/x) --> 无极限，但有界：1。

x/sinx --> 1 (这里局部地可用洛必达法则。)

所以：原式 --> x*sin(1/x)--> 0

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"sin(1/x) 为什么没极限呢？"

答：它在正负1之间来回摆动。

Answer 3

原式=lim( x-->0)[xsin(1/x)]* [x/sinx]=0*1=0