数学（理工农医类）参考答案
一、 选择题：本体考察基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。
（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B
(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
（13） -20 （14）4 （15） （16）①②③
三、解答题
（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。
解：（Ⅰ） 、 为锐角， ，
又 ，
， ，
…………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 , .
由正弦定理 得
，即 ，
，
，
……………………………………12分
（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，
事件 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，
事件 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。
所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是 。
…………………………………………………………6分
（Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，3
,
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以 ， ……………………12分
（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角
等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。
解法一：
（Ⅰ）因为平面 ⊥平面 , 平面 ，
平面 平面 ，
所以 ⊥平面
所以 ⊥ .
因为 为等腰直角三角形， ，
所以
又因为 ，
所以 ，
即 ⊥ ,
所以 ⊥平面 。 ……………………………………4分
（Ⅱ）存在点 ,当 为线段AE的中点时，PM‖平面
取BE的中点N，连接AN,MN，则MN‖＝ ‖＝PC
所以PMNC为平行四边形，所以PM‖CN
因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
所以PM‖平面BCE ……………………………………8分
（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD
作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG‖EA。从而，FG⊥平面ABCD
作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH
因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角
因为FA=FE, ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF= .
FG=AF•sinFAG=
在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+ = ,
GH=BG•sinGBH= • =
在Rt△FGH中，tanFHG= =
故二面角F-BD-A的大小为arctan . ………………………………12分
解法二:
(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE 平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立
如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA=FE, ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
从而， .
所以 , , .
, .
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因为BE 平面BCE,BC∩BE=B ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM‖平面BCE.
M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ).
从而 = ,
于是 • = • =0
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PMM‖平面BCE. ………………………………8分
(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为 ，并设 =（x,y,z）.
，
即
取y=1，则x=1，z=3。从而 。
取平面ABD的一个法向量为 。
。
故二面角F—BD—A的大小为arccos 。……………………………………12分
（20）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。
解：（Ⅰ）有条件有 ，解得 。
。
所以，所求椭圆的方程为 。…………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 、 。
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1.
将x=-1代入椭圆方程得 。
不妨设 、 ，
.
,与题设矛盾。
直线l的斜率存在。
设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。
设 、 ，
联立 ，消y得 。
由根与系数的关系知 ，从而 ，
又 ， ，
。
。
化简得
解得
（21）本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。
解：（Ⅰ）由题意知
当
当
当 ….（4分）
（Ⅱ）因为
由函数定义域知 >0,因为n是正整数，故0<a<1.
所以
（Ⅲ）
令
① 当m=0时， 有实根 ，在 点左右两侧均有 故无极值
② 当 时， 有两个实根
当x变化时， 、 的变化情况如下表所示：
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
的极大值为 ， 的极小值为
③ 当 时， 在定义域内有一个实根，
同上可得 的极大值为
综上所述， 时，函数 有极值；
当 时 的极大值为 ， 的极小值为
当 时， 的极大值为
（22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解：（Ⅰ）当 时，
又
数列 成等比数列，其首项 ，公比是
……………………………………..3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=
又
当
当
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知 恒成立，取n为大于1的奇数时，设
则
>
对一切大于1的奇数n恒成立
只对满足 的正奇数n成立，矛盾。
另一方面，当 时，对一切的正整数n都有
事实上，对任意的正整数k，有
当n为偶数时，设
则
<
当n为奇数时，设
则
<
对一切的正整数n，都有
综上所述，正实数 的最小值为4………………………….14分