如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下

Question

如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依此为S2，S3，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积S8=______．

Answer 1

∵正方形ABCD的面积S₁为1，
∴S₁=AB²=1，
∵正方形ACEF的边长是AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC=

2

AB，
∴正方形ACEF的面积S₂=AC²=（

2

AB）²=2AB²=2，
∵正方形ACEF的对角线AE是正方形AEGH的边长，
∴AC=

2

AC，
∴正方形AEGH的面积S₃=AE²=（

2

AC）²=2AC²=2²，
∵正方形AEGH的对角线HE是正方形HEIJ的边长，
∴HE=

2

AE，
∴正方形AEGH的面积S₄=HE²=（

2

AE）²=2AE²=2³，
…，
依此类推，S_n=2^n-1，
∴第8个正方形的面积S₈=2⁷=128．
故答案为：128．