关于格林公式经过原点的问题

Question

如图，这是课本上一道例题，当区域经过原点时不能直接用格林公式，需要挖洞，但为什么要选适当小的r？什么道理？ 还有，为什么应用了格林公式那个对L曲线的积分减去l（中间小圆圈）的积分就=0？就这两个问题，求高数达人详细讲一下，我就是小白
还有，为什么对那个小圆圈应用格林公式就可以了？他不是也过原点吗？

奇怪啊，每一个人懂这个？

Answer 1

当原点在区域中的时候，P和Q都不是连续函数，更不可导了，所以，破坏了格林公式的条件。选择适当小的r把原点挖掉，可以保证在这个环形区域内P和Q都变成可微分函数，从而满足了格林公式。事实上就是把外面大边界的积分转化到里面小的圆圈上的积分，这样的好处是里面的圆圈是一个规则的图形，很容易写出方程，利用第二型曲线积分的标准求法去求解。适当小就是保证小圆盘包含着原点而且包含于大区域。至于为什么中间的环形区域积分等于零，是因为在这里Q对x的偏导数等于P对y 的偏导数啊，转化到边界（两个，内外边界）上就是两个曲线积分相等，这里还要注意积分的方向，边界的定向等知识点。

总体说来，就是题目不能直接用格林公式，但是可以用格林公式先把普通曲线上的积分转化到规则曲线上的积分，然后根据第二型曲线积分的标准求法去求，到了规则曲线这个时候，我不用格林公式了，所以，是不是包含原点已经对积分计算没有影响了。