高一数学

Question

1. 已知 -3≤log0.5为底 x的对数≤-3/2,求函数f（x）=log2为底1/2的对数*log2为底x/4的对数 的最大值与最小值

2. 已知函数f(x)的定义域是零到正无穷大,且满足f（xy）=f(x)+f(y),f(1/2)=1 , 0＜x＜y ,都有f(y)＜f(x)
解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2

Answer 1

1.-3≤log0.5为底 x的对数≤-3/2,则有
-3≤-log2(x)≤-3/2.
即,3/2≤log2(x)≤3.

函数f（x）=log2为底1/2的对数*log2为底x/4的对数
=-log2(2)*[log2(x)-log2(4)]
=-log2(x)+2,

f(x)最大值=-3/2+2=1/2.
f(x)最小值=-3+2=-1.

2.f(x)的定义域是零到正无穷大,
f（xy）=f(x)+f(y),f(1/2)=1,
f(1/2*1)=f(1/2)+f(1),
f(1)=0.
f(1)=f(1/2*2)=f(1/2)+f(2)
f(2)=-f(1/2)=-1.

f(2)=f(1/2*4)=f(1/2)+f(4),
f(4)=-2.

f（-x）+f（3-x）≥-2 ,
f(x^2-3x)≥-2=f(4),
而,0＜x＜y ,都有f(y)＜f(x),
则有不等式组为:
-X>0,X<0
3-X>0,X<3
4≥X^2-3X>0, -1≤X<0或3<X≤4.
解不等式组取交集为:-1≤X<0,

即,不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集为:[-1,0).

Answer 2

1.
由已知得3/2≤log2(x)≤3,所以2根号2≤x≤8,
f（x）=-log2(x/4),该图象为单调递减，所以当x=2根号2时，
f（x）最大，为1/2，当x=8时，f（x）最小，为-3

2.
首先-x和3-x要满足定义域，所以x<0(你题目的定义域中零没闭吧！）
由f（xy）=f(x)+f(y) 得f（-x）+f（3-x）=f(x^2-3x)
f(1/2*1)=f(1/2)+f(1) ， 因为f(1/2)=1，所以f(1)=0
f(1/2*2)=f(1/2)+f(2) , f(2)=-1,
f(1/2*4)=f(1/2)+f(4) , f(4)=-2
所以f(x^2-3x)≥f(4)
因为0＜x＜y ,都有f(y)＜f(x)
所以x^2-3x≤4，得-1≤x≤4,又因为x<0,所以-1≤x<0

Answer 3

（1）0.5^-3/2<=x<=0.5^-3---->2^3/2<=x<=2^3 ;
f(x)=log2为底1/2的对数*log2为底x/4的对数
f(x)=-1*log2(x/4)
-1<=f(x)<=1/2;
最小值为-1；
最大值为1/2 。
（2）f（1）=f(1*1)=f(1)+f(1);
f(1)=0;
由定义域大于0：
-x>0--->x<0;3-x>0--->x<3;
f(1)=f(2*1/2)=f(2)+f(1/2)=f(2)+1=0--->f(2)=-1
f(-x)+f(3-x)=f(x^2-3x)<=-2=-(f(1/2)+f(1/2))=-f(1/4)=f(4),
因为是减函数，x^2-3x>4
故：x^2-3x-4>0
-1<x<4
解得 -1<=x<0 。
其实,f(x)=-log2(x) 。

Answer 4