时间复杂度算例题如下：
(1)递归执行过程
例子：求N!。
这是一个简单的"累乘"问题，用递归算法也能解决。
n!=n*(n-1)!n>1
0!=1,1!=1n=0,1
因此，递归算法如下：
Java代码
fact(intn){
if(n==0||n==1)
return1;
else
returnn*fact(n-1);
}
以n=3为例，看运行过程如下：
fact(3)-----fact(2)-----fact(1)------fact(2)-----fact(3)
递归回溯
递归算法在运行中不断调用自身降低规模的过程，当规模降为1，即递归到fact(1)时，满足停止条件停止递归，开始回溯(返回调用算法)并计算，从fact(1)=1计算返回到fact(2);计算2*fact(1)=2返回到fact(3)；计算3*fact(2)=6，结束递归。
算法的起始模块也是终止模块。
(2)递归实现机制
每一次递归调用，都用一个特殊的数据结构"栈"记录当前算法的执行状态，特别地设置地址栈，用来记录当前算法的执行位置，以备回溯时正常返回。递归模块的形式参数是普通变量，每次递归调用得到的值都是不同的，他们也是由"栈"来存储。
(3)递归调用的几种形式
一般递归调用有以下几种形式(其中a1、a2、b1、b2、k1、k2为常数)。
<1>直接简单递归调用：f(n){...a1*f((n-k1)/b1);...};
<2>直接复杂递归调用：f(n){...a1*f((n-k1)/b1);a2*f((n-k2)/b2);...};
<3>间接递归调用：f(n){...a1*f((n-k1)/b1);...}，
g(n){...a2*f((n-k2)/b2);...}。
2.递归算法效率分析方法
递归算法的分析方法比较多，最常用的便是迭代法。
迭代法的基本步骤是先将递归算法简化为对应的递归方程，然后通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，最后求级数的和，再估计和的渐进阶。
<1>例：n!
算法的递归方程为：T(n)=T(n-1)+O(1);
迭代展开：T(n)=T(n-1)+O(1)
=T(n-2)+O(1)+O(1)
=T(n-3)+O(1)+O(1)+O(1)
=......
=O(1)+...+O(1)+O(1)+O(1)
=n*O(1)
=O(n)
这个例子的时间复杂性是线性的。
<2>例：如下递归方程：
T(n)=2T(n/2)+2,且假设n=2的k次方。
T(n)=2T(n/2)+2
=2(2T(n/2*2)+2)+2
=4T(n/2*2)+4+2
=4(2T(n/2*2*2)+2)+4+2
=2*2*2T(n/2*2*2)+8+4+2
=...
=2的(k-1)次方*T(n/2的(i-1)次方)+$(i:1~(k-1))2的i次方
=2的(k-1)次方+(2的k次方)-2
=(3/2)*(2的k次方)-2
=(3/2)*n-2
=O(n)
这个例子的时间复杂性也是线性的。
<3>例：如下递归方程：
T(n)=2T(n/2)+O(n),且假设n=2的k次方。
T(n)=2T(n/2)+O(n)
=2T(n/4)+2O(n/2)+O(n)
=...
=O(n)+O(n)+...+O(n)+O(n)+O(n)
=k*O(n)
=O(k*n)
=O(nlog2n)//以2为底
一般地，当递归方程为T(n)=aT(n/c)+O(n),T(n)的解为：
O(n)(a<c&&c>1)
O(nlog2n)(a=c&&c>1)//以2为底
O(nlogca)(a>c&&c>1)//n的(logca)次方，以c为底
上面介绍的3种递归调用形式，比较常用的是第一种情况，第二种形式也有时出现，而第三种形式(间接递归调用)使用的较少，且算法分析
比较复杂。下面举个第二种形式的递归调用例子。
<4>递归方程为：T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+n
为了更好的理解，先画出递归过程相应的递归树：
n-------->n
n/32n/3-------->n
n/92n/92n/94n/9-------->n
...............................
--------
总共O(nlogn)
累计递归树各层的非递归项的值，每一层和都等于n，从根到叶的最长路径是：
n-->(2/3)n-->(4/9)n-->(12/27)n-->...-->1
设最长路径为k，则应该有：
(2/3)的k次方*n=1
得到k=log(2/3)n//以(2/3)为底
于是T(n)<=(K+1)*n=n(log(2/3)n+1)
即T(n)=O(nlogn)
由此例子表明，对于第二种递归形式调用，借助于递归树，用迭代法进行算法分析是简单易行的。