多元函数微分计算题，最后手写拍照，要有过程。

Question

题目如图所示。

Answer 1

这个函数可微，那么就可以写成dz=Adx+Bdy+o(ρ)

ρ=√((x-1)^2+(y-0)^2)
这是微分公式
由条件知，lim(x→1,y→0)f(x,y)-2x+y=o(√((x-1)^2+(y-0)^2))
左边是右边的高阶无穷小。
式子变为lim(x→1,y→0)(f(x,y)-f(1,0))=2x-y+o(√((x-1)^2+(y-0)^2))
lim(x→1,y→0)(f(x,y)-f(1,0))=2(x-1)+(-1)(y-0)+o(√((x-1)^2+(y-0)^2))
则左右同时减了一个2，f(1,0)=2。
fx'(1,0)=2

fy'(1,0)=-1
lim(h→0)(f(1+h,0)-f(1,2h))/h=
lim(h→0)(f(1+h,0)-f(1,0)+f(1,0)-f(1,2h))/h=
lim(h→0)(f(1+h,0)-f(1,0)-(f(1,2h)-f(1,0)))/h=
lim(h→0)(f(1+h,0)-f(1,0))/h-lim(h→0)2*(f(1,2h)-f(1,0))/2h=
fx'(1,0)-2fy'(1,0)=4追问

为什么fy'(1,0)=-1 ？

追答

微分公式里A是∂z/∂x，B是∂z/∂y，A是2，B是-1。