初中生函数学习困难的原因及教学策略
作者：天津第八中学 阮玲
发布时间：2010-6-15 已经阅读131次
函数是中学数学中极其重要的内容之一。这一概念不仅渗透在中学数学教学的许多内容之中，而且它与物理、化学等学科的知识密切相关。其次，它又是一种数学思想，运用函数思想可以更方便、更有效地解决一些数学问题，在学生的数学学习过程中有着重要的意义和作用。
由于函数在中学数学中最具复杂性，学生对函数的学习往往不是一帆风顺的，因此函数的教与学是一个需要认真研究的课题。
一、函数学习困难的原因分析
1.函数自身的特点
(1)函数概念的发展经历了一个漫长的过程，是众多数学家智慧的结晶。函数概念萌芽于罗马时代，17世纪伽利略、笛卡尔都注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但是没能给出函数的定义。进入18世纪，先后经历了公式表示函数和曲线表示函数的阶段。1821年柯西给出了类似现在课本的函数定义。1822年傅里叶揭示了函数的本质，结束了函数概念是否唯一的争论，把对函数的认识推到了一个新的层次。之后又经历了若干科学家的研究提炼，给出了近代函数的定义，具体化了函数的对应关系、定义域和值域问题，打破了“变量是数”的极限，使得函数得到更广泛的应用。由此可以看出，函数的发展是人类社会认识发展过程的简约反映，因此学生普遍出现认识上的困难是比较正常的。
(2)函数从客观世界中抽象出来，超越了千变万化的客体的个性，是个内涵深刻而又外延丰富的概念。函数不是数，需要以变化的观点来考察变量之间的相互依赖关系，研究的着眼点是“关系”，对变量概念的学习不能简单地理解为变化的量，必须辩证地认识常量与变量这一关系。
(3)函数概念系统复杂，涉及因素众多。伴随着函数概念的不断发展，数学思维方式也发生了重要转变，思维从静态走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图表语言之间可以灵活转换。在函数的研究中，思维超越了形式逻辑的界限，进入了辩证逻辑思维，与常量数学相比，函数概念的抽象性更强，形式化程度更高。
2.函数学习过程中学生的心理特点
(1)新旧认知结构产生冲突
以布鲁纳为代表的认知学说认为在学生的学习过程中，新的学习内容输入以后，学生原有的数学认知结构与新的学习内容之间相互作用，出现了同化和顺应两种基本形式的学习过程，而学生学习函数概念的过程是顺应的过程。初中生刚刚学习函数时，原有的认知结构不能适应新的认知需要，必须要加以改造才能适应新的学习内容。例如，学生在学习函数之前学习正方形的面积公式，是为了利用正方形的边长计算正方形的面积；而学习函数概念时，则需把正方形的面积公式看成正方形的面积与边长之间相互变化所遵循的规律。
(2)初中生的感知规律
在数学学习中，学生已有的知识经验起着重要的作用。已有的知识经验越丰富，感知就越是清晰，就越有利于把感性认识上升为理性认识。特别是初中生，年龄小，知识面比较狭窄，生活经验尚不丰富，对数学中较难理解的知识，接受起来有一定的困难。再加上函数内容的高度抽象性，往往掩盖了它们与具体内容之间的关系，压制了感知在数学学习中的作用。
(3)学生思维发展水平的局限性
初中生的抽象逻辑思维日益发展，并逐渐占有相对优势，但具体形象思维仍然起着重要的作用；其次初中生思维的独立性和批判性还是很不成熟的，很容易产生片面性和表面性，特别是他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能够完全胜任这种需要用辩证的思想、运动变化的观点才能理解的学习任务，这是构成函数概念学习困难的主要根源。
二、函数教学的策略及应注意的问题
1.创设丰富的感性背景，让学生感受动态世界中的变化规律
尽管函数本身是以抽象的形态出现的，但学生领会它的时候总是要从直观开始的。虽然直观感知只能提供事物具体的、特殊的、感性的认识经验，但是它是认识空间形式和数量关系的基础。
以下是我将函数概念导入新课的课堂实录。
提出问题：“同学们，你们乘坐过出租车吗？”“当然了！”学生的眼睛里来了精神。“那么你们了解出租车的计费方式吗？”学生已经迫不及待了。“好，现在老师有个问题你们帮我解决一下。”
引出问题：现在市区一辆出租车3公里的起步价是8元，每增加1公里加价1.7元。如果我乘车12公里应付费多少元？学生很快算出了结果。我乘势而下，“在这个过程中哪些量是变化的？能不能写出它们的关系式？”解答结果并不重要，关键在于让学生经过思考体会两种变量之间存在的变化规律。接下来还可以选取一根弹簧，在其下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如果弹簧原长5cm，每1kg重物使弹簧拉长0.5cm，怎样用含重物质量m（单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度l(单位：cm)。教学时教师亲自动手做实验，并配以图表，请学生亲自观察弹簧的长度变化，并做好记录，在观察和记录的过程中慢慢体会其中的变化规律。往往两三次之后学生就会准确说明其中蕴含的规律。
X(kg)012345Y(cm)55.566.577.5还可以利用几何画板的动画功能，给学生演示圆半径r与圆面积S之间的关系。
通过以上实例，可以使学生初步体会：(1)常量和变量的概念；(2)变量的取值是有一定范围的；(3)常量与变量的概念是相对的；(4)学生从感性上认识到变量之间的变化是存在一定规律的。这些都为学习函数概念提供了可靠的认知支柱。
2.紧扣函数概念的两要素，充分揭示函数概念的内涵
初中函数概念是以变量关系引入的，它是函数概念的本质属性。教学中有的教师将“变量”解释为“变化的量”，或干脆说成“你变，我也变”，殊不知这样的解释对学生理解“变量”的意义不仅没有帮助还会起反作用，因此对变量概念的准确理解是学好函数的关键。
(1)辩证地看常量和变量
常量和变量都是相当于某一过程而言，没有绝对的变量。例如，一辆汽车用了2小时从北京驶向天津。在这2小时的过程中，这辆汽车行驶的路程是一个变量，但在分析这辆汽车到达天津的时间和它的速度之间的关系这个过程中，路程则成了常量。
(2)准确把握因变量
把一个变量称作函数也是相对的，一方面它必须是依赖于或相对于某个称作自变量的变量。例如，上面例子中的第一种情况,路程这个变量是时间这个自变量的函数，而不能单独地说某一个变量是函数或认为它注定就是函数；另一方面，一个变量是某个变量的函数，也是相对于某个“过程”而言的。例如，如果把年龄规定在一个人在世时每年的生日那天的某个时刻，那么对于一个人来说，身高是年龄的函数，但对于一个班的同学来说，一般说来，身高就不是年龄的函数。这是因为，前者的过程是对于一个人，后者的过程是对于几十个人。
(3)深刻理解函数关系的本质——对应关系
两个变量相互依赖，“当第一个变量在一定的范围中取定一个数值时，第二个量总有确定的数值与之对应”，即自变量在它的取值范围内不受干扰的自由取值，函数的值则受自变量的牵制。
(4)注重对自变量取值范围的考虑
自变量的取值范围，到高中称作“函数的定义域”，它是函数关系的一个组成部分。两个函数的自变量的取值范围不同时，这两个函数则是不可能相同的。例如，某风景区集体门票的收费标准是20人以内（含20人）每人25元，超过20人时，超过部分每人20元。应收门票费y(元)与游览人数x(人)之间的函数关系式为
Y=25X(0≤X≤20)
20X+100(X>20)
此题由于自变量的取值不同，因此对应的函数也不尽相同。由此可以看出，从开始学习函数时就考虑自变量取值范围是十分必要的。
3.加强数形结合思想方法的教学
(1)渗透数形结合思想方法，促进学生思维的完善
法国科学家拉格朗日认为，只要代数和几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，当两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，就可以快速的步伐走向完善。数与形是数学中的两个最基本的概念，数学的内容和方法都是围绕对这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。在函数教学中，渗透数形结合思想，可以使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化。实践中，可以发挥“做数学”的优势，选好函数解析式让学生自己动手画函数图象。其过程虽然不是一帆风顺的，但却可以促使学生不停地动脑筋。函数图象究竟是什么样的？它是呈怎样的变化趋势？随着教师的引导，函数图象的性质也就浮出水面了。第二步，则可以让学生根据自己归纳的函数图象性质解决问题，应用中不断产生的问题冲突将是学生思考—理解—反思—记忆的最佳时机。例如，学习反比例函数图形性质时，当k>0，图像位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0，图像位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。学生一般对“在每个象限内”这个条件并不重视，单纯套性质做题会大大降低准确率。已知：反比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点，A（x1,y1）,B(x2,y2)，且x1
(2)数形结合帮助学生的知识“活”起来
以往看2x+1=0，2x+y=0，2x+1>0，均为方程、不等式的个体，而学习了函数，则可由函数图象将方程、不等式、方程组统一起来。例如，方程2x+1=0的解从“数”的角度可以看作2x+1=y，令y=0时自变量x的值；从“形”的角度可以看作直线y=2x+1与x轴交点的横坐标。又如，一个二元一次方程2x+y+1=0可同解变形成y=-2x-1，而后者的图象是一条直线，它的无数个点的无数组坐标值就是2x+y+1=0的无数组解。再如，一个二元一次方程组的两个方程的解，都在坐标平面的两条直线上，只有它们交点的坐标是公共的，因此只有它们的交点才是方程组内两个方程的公共解。方程组无解时，正是所对应的两条直线互相平行，此时无交点。
利用函数的图象揭示知识之间内在的联系，可使学生对知识的运用更加灵活。
4.借助多媒体优势，抽象变直观
借助多媒体的优势可以使抽象的函数概念更加直观。例如，学习二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质时，a、b、c的取值决定抛物线的位置是学生理解和应用的一个难点。若在几何画板中利用参数拉杆代表a、b、c,用鼠标任意拖动每一个参数拉杆，动态的抛物线就随之变化，不用老师开口，学生就会发现：(1)a>0,抛物线开口向上；a<0,抛物线开口向下；|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置。(3)c的大小决定抛物线与y轴的交点位置。
5.建立函数思想方法，提高学生的探索能力
研究函数的过程，始终离不开变化，若能根据函数这一特性，形成函数思想，利用一次函数、二次函数的解析式解决某类探索性问题则能达到事半功倍的效果。这一类探索问题的关键是判断增量的情况，从而判断用哪一种函数求解。
(1)若增量为定值，可用一次函数求解。例如，下图中每个图是用若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边有n(n>1)盆花，每个图案的花盆总数为S，按此规律排列，试写出S与n的关系式。
分析：n从2到3增加1，S的值增加3；n从3到4增加1，S的值增加3；可见S的增量为定值，可用一次函数求解。
解：设S与n的关系为S=kn+b
2k+b=3
3k+b=6
∴k=3，b=-3∴s=3n-3
(2)若增量为等差数列，可用二次函数求解。例如，两条直线相交，最多1个交点；三条直线相交，最多3个交点；四条直线相交，最多6个交点，问n条直线相交，最多有多少个交点？
分析：交点个数由1到3，增加2；交点个数由3到6，增加3；
交点个数由6到10，增加4；增加量为等差数列，可用二次函数求解。设S与n的函数关系式为S=an2+bn+c。将(2，1)，(3，3)，(4，6)代入，解得a=12，b=-12，c=0.所以s=12n2-12n.
6.注重函数与现实世界的联系，强化学生的应用意识
函数是非常重要的“数学建模”工具，现实中的许多问题都是通过建立函数模型而得到解决的。例如，现在电话费、上网费、手机费的付费问题已是我们生活中常见的话题，怎样才能使我们的消费更加经济实用呢？我让学生以小组合作的方式，调查家里的上网资费方式是否经济实用，学生的积极性无限高涨。通过调查分类筛选基本选定两种资费方式进行分析：方式A，以每分钟0.1元的价格按上网时间收费；方式B，除收取月租费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。分析结果以调查报告的形式出现包括建立函数模型—画出函数图像—分析函数图像—选择资费方式。活动结束后，请学生交流此次活动后的收获，这样不仅巩固了知识，学会了方法，更重要的是经历了“从现实中来，到现实中去”的数学过程。
总之，对函数概念的理解、运用并不是一章、一节能突破的，教师要把函数的教学作为一个长期的过程，积极地引导学生进行独立思考，有意识地培养他们应用函数知识解决各种数学问题的能力，帮助学生顺利地完成函数的学习。
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