在四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点，且AD、BC的延长线交于P，求证：S三角形PMN=1/4S四边形 ABC

Question

在四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点，且AD、BC的延长线交于P，求证：S三角形PMN=1/4S四边形ABCD

Answer 1

证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME‖BC,MF‖AD,NE‖AD,NF‖BC，
所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF‖BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)
=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2. (3)

所以只需证明:
S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)
延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.

同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立，
将(4)式代入(3)式即得所得结论.

Answer 2

设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME‖BC,MF‖AD,NE‖AD,NF‖BC，
所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF‖BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)
=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2. (3)
所以只需证明: S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)
延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立，
将(4)式代入(3)式即得所得结论.
或者：
证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME‖BC,MF‖AD,NE‖AD,NF‖BC，
所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF‖BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)
=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2. (3)

所以只需证明:
S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)
延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.

同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立，
将(4)式代入(3)式即得所得结论.

Answer 3

我来告诉你，他们的太复杂证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME‖BC,MF‖AD,NE‖AD,NF‖BC，
所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF‖BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)
=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2. (3)
所以只需证明: S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)
延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立，
将(4)式代入(3)式即得所得结论.

Answer 4

◆知识点:等底同高的三角形面积相等.
证明:连接an,cn.
∵dn=bn.
∴s⊿adn=s⊿abn.(等底同高的三角形面积相等).
则:s⊿adn=(1/2)s⊿abd;
同理可证:s⊿pdn=s⊿pbn=(1/2)s⊿pbd;
s⊿amn=s⊿cmn=(1/2)s⊿acn;
s⊿pam=s⊿pcm=(1/2)s⊿pac;
s⊿abn=s⊿adn=(1/2)s⊿abd;
s⊿bcn=s⊿cdn=(1/2)s⊿bcd.
∴s⊿adn+s⊿pdn=(1/2)s⊿abd+(1/2)s⊿pbd.
即s⊿pan=(1/2)(s⊿abd+s⊿pbd)=s⊿abp.-------------(1)
又s⊿pam+s⊿amn=(1/2)(s⊿acn+s⊿pac).
故:s⊿pmn=s⊿pan-s⊿pam-s⊿amn=(1/2)(s⊿abp-s⊿pac-⊿acn)
即:s⊿pmn=(1/2)(s⊿abn+s⊿bcn)=(1/2)[(1/2)s⊿abd+(1/2)s⊿bcd]
故:s⊿pmn=(1/2)×(1/2)(s⊿abd+s⊿bcd)=(1/4)s四边形abcd.

Answer 5

有没有图